Peterson-Codazzis ekvationer

Peterson-Mainardi-Codazzi-ekvationerna är ekvationer som tillsammans med Gaussekvationen utgör de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för systemets integrerbarhet, till vilket problemet med att återhämta en yta från dess första och andra kvadratiska former reduceras .

Ekvationer

Peterson-Mainardi-Codazzi-ekvationerna har formen

{\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2} b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{ 2}b_{21}

där är koefficienter för den andra kvadratiska formen, är Christoffel-symboler . $b_{{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

Egenskaper

Bonnets teorem. Om och , är två släta kvadratiska former i domänen som uppfyller Peterson-Codazzi-ekvationerna, så finns det också en unik (upp till rörelser) yta där dessa former är de första och andra kvadratiska formerna. ${\displaystyle g=g_{ij))$ ${\displaystyle b=b_{ij))$ ${\displaystyle i,j\in \{1,2\))$ $U$ $\mathbb {R} ^{3}$
- Detta teorem bevisades också av Peterson i sin avhandling.

Historik

Ekvationerna hittades först av Peterson [1] 1853, återupptäckta av Mainardi [2] och Codazzi (1867) [3] .

Anteckningar

↑ Peterson, KM "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. candidatenschrift. 1853.
↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385-398, 1856.
↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. matematik. pura applicata 2, 101-19, 1868-1869.

Litteratur

Rashevsky P.K., Kurs för differentialgeometri , M., 1956.
Toponogov, V. A. Differentialgeometri för kurvor och ytor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .