Eulers formel (differentialgeometri)

Eulers formel är en formel som låter dig beräkna den normala krökningen av en yta.

Uppkallad efter Leonhard Euler , som bevisade det 1760.

Formulering

Låt det finnas en regelbunden yta i det tredimensionella euklidiska rummet . Låt - en punkt - ett tangentplan till en punkt - en enhet normal till i en punkt a - ett plan som går igenom och någon enhetsvektor i . Den kurva som erhålls som skärningspunkten mellan planet och ytan kallas normalsektionen av ytan vid en punkt i riktningen $\Phi$ $sid$ $\phi ,$ $T_{p}$ $\Phi$ $p,$ $n$ $\Phi$ $p,$ $\pi _{e}$ $n$ $e$ $T_{p}$ $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $sid$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

där betecknar skalärprodukten , och är krökningsvektorn vid punkten , kallas ytans normala krökning i riktningen . Upp till ett tecken är normalkurvaturen lika med kurvans krökning . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $sid$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Det finns två vinkelräta riktningar i tangentplanet och sådana att den normala krökningen i en godtycklig riktning kan representeras med hjälp av den så kallade Euler-formeln : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

var är vinkeln mellan denna riktning och , a är värdena och normala krökningar i riktningarna och , de kallas huvudkrökningarna och riktningarna och är ytans huvudriktningar vid punkten . De huvudsakliga krökningarna är extremvärdena för de normala krökningarna. Strukturen av normala krökningar vid en given punkt på ytan avbildas bekvämt grafiskt med Dupins indicatrix . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $sid$

Se även

Länkar

Euler, Leonhard (1760), Recherches sur la courbure des surfaces , Memoires de l'academie des sciences de Berlin T. 16: 119–143, 1767 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333 .html > .