Hypotes om Carathéodory

Carathéodory-förmodan är en gissning som tillskrivs Constantine Carathéodory , som uttalades av Hans Ludwig Hamburger vid 1924 års session av Berlin Mathematical Society [1] . Carathéodory publicerade artiklar om detta ämne [2] men presenterade aldrig hypotesen i sina skrifter. John Edensor Littlewood nämner i sin bok [3] Hamburgers gissningar och bidrag [4] [5] [6] som ett exempel på ett matematiskt påstående som är lätt att ange men svårt att bevisa. Dirk Jan Stroyk beskriver i sin artikel [7] en formell analogi av gissningen med fyrpunktssatsen för plana kurvor. Moderna referenser till gissningarna är en lista med problem av Yau Shintun [8] , böcker av Marcel Berger [9] [10] , samt böcker av Nikolaev [11] , Stroyka [12] , Toponogov [13] och Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin [14] .

Formulering

Varje konvex, stängd och tillräckligt slät yta i tredimensionell euklidisk rymd innehåller minst två avrundningspunkter .

Anteckningar

Till exempel har en rotationsellipsoid exakt två avrundningspunkter. I det här fallet är alla punkter i sfären avrundningspunkter.

Privata resultat

Det fanns en ansökan av Stefan Cohn-Vossen [15] till International Congress of Mathematicians 1928 i Bologna och i 1929 års upplaga av tredje volymen av boken "Differential Geometry" [16] skrev Wilhelm Blaschke :

Medan boken förbereddes för publicering kunde Cohn-Vossen bevisa att slutna realanalytiska ytor inte har navelsträngar med index > 2 (inbjudet föredrag vid ICM i Bologna 1928). Detta bevisar Carathéodorys gissning för sådana ytor, nämligen att ytor måste ha minst två navelsträngar.

Här är Blaschke-indexet lika med två gånger det vanliga indexet för navelsträngen och den globala gissningen följer av Poincarés vektorfältsats . Inga tidningar publicerades av Cohn-Vossen före den internationella kongressen, och i efterföljande upplagor av Blaschkes bok togs ovanstående kommentarer bort. Av detta är det logiskt att dra slutsatsen att arbetet var föga övertygande.

För analytiska ytor gavs ett jakande svar på gissningen 1940 av Hans Ludwig Hamburger i en lång artikel publicerad i tre delar [4] [5] [6] . Hamburgers tillvägagångssätt baserades också på att uppskatta indexen för isolerade navelpunkter, varifrån, som han visade i tidigare artiklar [17] [18] , följer Caratedoris gissningar. 1943 erbjöd Gerrit Bol ett kortare bevis [19] (se även Blaschke [20] ), men 1959 fann och korrigerade Tilla Klotz [21] en lucka i Bols bevis [4] [5] [6] . Dess bevis förklarades i sin tur ofullständigt i Hanspeter Scherbels avhandling [22] (Sherbel publicerade inte några resultat relaterade till Carathéodorys gissningar förrän åtminstone i juni 2009). Bland andra publikationer bör verk av Titus [23] , Sotomayor och Mello [24] , Gutierrez [25] nämnas .

Alla bevis som nämns ovan är baserade på Hamburgers reduktion av Carathéodorys gissning till följande gissning: indexet för någon isolerad navelpunkt överstiger inte ett [17] . Grovt sett ligger den största svårigheten i att lösa den singularitet som genereras av avrundningspunkterna. Alla författarna som nämns ovan löser singulariteten genom induktion på "degenerationen" av avrundningspunkten, men ingen av författarna beskrev induktionsprocessen tydligt.

År 2002 granskade Vladimir V. Ivanov Hamburgers arbete på analytiska ytor och skrev följande [26] :

För det första, med analytiska ytor i åtanke, förklarar vi med fullt ansvar att Carathéodory hade rätt. För det andra vet vi hur detta kan bevisas noggrant. För det tredje ämnar vi här presentera ett bevis som, enligt vår mening, kommer att övertyga vilken läsare som helst, om han bara verkligen är redo att med oss ​​övervinna en lång och inte alls lätt väg.

Först följde han den väg som föreslogs av Gerrit Bol och Tilla Klotz, men senare föreslog han sitt eget sätt att lösa singulariteten, där det kritiska värdet hör till komplex analys (närmare bestämt en teknik som använder analytiska implicita funktioner , Weierstrass förberedande teorem , Puiseux-serien och cirkulära rotsystem ).

2008 tillkännagav Gilfoyle och Klingenberg ett bevis på den globala gissningen för ytor med jämnhet C 3,\alpha . Deras metod använder sig av den neutrala Kähler-geometrin för Klein-kvartalet , medelkurvaturflödet , Riemann-Rochs indexsats och Sard-Smale-satsen om reguljära värden för Fredholm-operatorer [27] . Men deras artikel publicerades aldrig [28] .

2012 visade Gomi och Howard, med hjälp av Möbius-transformen , att den globala gissningen för ytor med C2-jämnhet kan omformuleras i termer av antalet navelsträngar i graferna för vissa asymptotiska gradienter [29] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Hamburger, 1924 .
  2. ↑ Wrocławs universitet, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1940 , sid. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , sid. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , sid. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , sid. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hamburger, 1922 , sid. 258 - 262.
  18. ↑ Hamburger, 1924 , sid. 50 - 66.
  19. ↑ Bol, 1944 , sid. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , sid. 201–208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , sid. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Titus, 1973 , sid. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , sid. 49-58.
  25. ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998 , sid. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , sid. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , sid. 4323-4335.

Litteratur