Papyrus ahmes

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ahmes matematiska papyrus (även känd som Rinda Papyrus eller Rhind Papyrus ) är en forntida egyptisk lärobok i aritmetik och geometri från den tolfte dynastin i Mellanriket (1985-1795 f.Kr.), transkriberad under det 33:e året av regeringstiden Kung Apopi (c. 1550). f.Kr.) av en skriftlärare vid namn Ahmes på en papyrusrulle [ 1] . Enskilda forskare[ vem? ] föreslår att papyrusen från XII dynastin skulle kunna sammanställas på grundval av en ännu äldre text från III årtusendet f.Kr. e. Språk: Mellanegyptiska , manus: hieratiskt .

Ahmes papyrus upptäcktes 1858 i Thebe och kallas ofta Rhind (Rhind) papyrus efter dess första ägare. År 1887 dechiffrerades papyrusen, översattes och publicerades av G. Robinson och K. Schute [2] . Det mesta av manuskriptet finns nu på British Museum . Den består av två delar: BM 10057 (32 cm × 295,5 cm) och BM 10058 (32 cm × 199,5 cm). Mellan dem ska det finnas en bit ca 18 cm lång, som gick förlorad. Några fragment som delvis fyller denna lucka upptäcktes 1922 i New York Historical Societys museum [3] .

Karakteristika för uppgifter

Ahmes papyrus innehåller villkor och lösningar för 84 problem och är den mest kompletta egyptiska problemboken som har överlevt till denna dag. Moscow Mathematical Papyrus , som ligger i Pushkin State Museum of Fine Arts, är underlägsen Ahmes-papyrusen i sin fullständighet (den består av 25 uppgifter), men överträffar den i ålder.

I den inledande delen av Ahmes papyrus förklaras att den är tillägnad "det perfekta och grundliga studium av alla ting, förståelse av deras väsen, kunskap om deras hemligheter." Alla uppgifter som ges i texten är i en eller annan grad praktiska till sin natur och skulle kunna tillämpas vid konstruktion, avgränsning av tomtmark och andra områden av liv och produktion. För det mesta är dessa uppgifter för att hitta arean av en triangel, fyrhörningar och en cirkel, olika åtgärder med heltal och alikvotbråk , proportionell division, hitta förhållanden. För att lösa många av dem utvecklades allmänna regler.

Samtidigt finns det ett antal bevis i papyrusen för att matematiken i det antika Egypten växte ur ett uteslutande praktiskt stadium och fick en teoretisk karaktär. Så egyptiska matematiker kunde slå rot och höja sig till en makt var bekanta med aritmetisk och geometrisk progression (en av Ahmes-papyrusens uppgifter är att hitta summan av termerna för en geometrisk progression). Många problem som handlar om att lösa ekvationer (inklusive kvadratiska) med en okänd är förknippade med användningen av en speciell hieroglyf "uppsättning" (analog av latin , traditionellt använt i modern algebra) för att beteckna det okända, vilket indikerar designen av algebras rudiment . $x$

Ahmes-papyrusen, liksom Moskvas matematiska papyrus, visar att de forntida egyptierna lätt klarade av att mäta arean av en triangel och bestämde approximationen av numret , relativt exakt , medan det i hela den antika Mellanöstern ansågs vara lika med tre . Men papyrusen vittnar också om bristerna i egyptisk matematik. Till exempel beräknas arean av en godtycklig fyrhörning i dem genom att multiplicera halvsummorna av längderna av två par motsatta sidor , vilket endast är sant i speciella fall (till exempel i en rektangel). För en trapets är denna formel felaktig, men egyptierna visste och använde den korrekta formeln. Dessutom uppmärksammas också det faktum att den egyptiske matematikern endast använder alikvotbråk (av formen , där är ett naturligt tal). I andra fall ersattes artfraktionen med produkten av ett antal och en alikvotfraktion , vilket ofta komplicerade beräkningar, även om det i vissa fall kunde underlätta dem. $\pi$ ${\frac {256}{81}}\approx 3.16$ ${\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$ ${\frac {1}{n}}$ $n$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ ${\frac {1}{n}}$

Egenskaper i egyptisk aritmetik. Grundläggande termer

Egyptiska termer för aritmetiska operationer

Egyptierna utförde multiplikation och division genom summa, dubblering och bisektion . Subtraktion utfördes genom att lägga till subtrahend till minuend. [4] För att beteckna alla dessa handlingar på det egyptiska språket användes ett verb wAH

(läs villkorligt "wah" eller "wah" och betyder "sätta"; "fortsätt", etc.). Verbet xpr användes för att indikera resultatet av operationer med siffror.

(villkorligt läs "heper", betyder "att synas") eller substantivet dmD

(villkorligt läs "demage", betyder "totalt"). Det önskade talet betecknades med substantivet aHa

(villkorligt läs "aha", betyder "nummer", "uppsättning").

Aritmetiska operationer

Innan man utvärderar egyptiernas matematiska metoder är det nödvändigt att prata om funktionerna i deras tänkande. De uttrycks väl i följande uttalande: "Trots att grekerna tillskrev egyptierna filosofernas visdom, hade inget folk en sådan motvilja mot abstrakta reflektioner och var inte så uppriktigt hängivna materiella intressen som egyptierna." Av alla vetenskaper är detta uttalande mest lämpligt för egyptiernas matematik. Egyptiern talar eller tänker inte på siffran "åtta" som ett abstrakt tal, han tänker på åtta bröd eller åtta får. Han beräknar lutningen på pyramidens sida, inte alls för att det är intressant, utan för att han behöver förklara för muraren hur stenen måste huggas (den så kallade "heliga vinkeln" på 52 grader är gränsvärde vid vilket kalkstensbeklädnaden inte faller av pyramidens trappsteg under sin egen vikt). Om han sönderfaller till , är det inte alls för att han gillar det, utan helt enkelt för att han förr eller senare kommer att stöta på ett bråk när han adderar, och eftersom han inte vet hur man lägger till bråk vars täljare är större än ett, kommer han att behöva sönderdelning som ges ovan. [5] ${\frac {2}{13}}$ ${\frac {1}{8}}+{\frac {1}{52}}+{\frac {1}{104}}$ ${\frac {2}{13}}$

Eftersom de gamla egyptierna ännu inte kände till multiplikationstabellen var alla beräkningar extremt besvärliga och utfördes i flera steg. För att utföra operationer som multiplikation eller division användes följande metod [4] :

Multiplikation

Till exempel, 22 x 60 =?

Först skrevs en sådan nummerserie ner att varje efterföljande nummer erhölls genom att dubbla det föregående, till exempel: 1, 2, 4, 8, 16 ... För vissa uppgifter, för att förenkla räkningen, den första nummerserien kunde börja med ett annat tal än ett, men principen om fördubbling av det tidigare antalet behölls för senare utbildning.
Mittemot enheten skrevs det största numret från uppsättningen (i vårt exempel är detta talet 60), sedan skapades samma progression med detta nummer, så att varje efterföljande nummer erhölls genom att dubbla det föregående. En sådan serie siffror skrevs mittemot den första. Följaktligen skrevs motsatsen 2 120 (det vill säga 60 x 2), motsatsen 4 - 240 (det vill säga 120 x 2), motsatsen 8 - 480 (det vill säga 240 x 2), motsatsen 16 - 960 (det vill säga, 480 x 2) ...
Det minsta antalet (22 i vårt exempel) bröts upp i det minsta antalet nummer från den första raden (1, 2, 4, 8, 16 ...). För detta ändamål togs talet närmast 22 i värde först, detta är 16, med resten utfördes en liknande åtgärd: 22 - 16 \u003d 6, numret från den första raden närmast i värde 6 - 4, etc. ., tills summan av siffrorna som valts från den första raden inte var lika med 22, det vill säga det minsta talet i uppsättningen. Vi får: 22 = 16 + 4 + 2.
Sedan valdes siffrorna från andra raden ut, som stod mitt emot siffrorna vi tidigare valt från första raden. Från den första raden valde vi 16, 4 och 2, i den andra raden motsvarar de siffrorna 960, 240 och 120.
Produkten av talen 22 och 60 var lika med summan av de valda talen från den andra raden, det vill säga 960 + 240 + 120 = 1320.

Division

Till exempel, 30/20 = ?

Först skrevs en sådan serie av siffror ner att varje efterföljande nummer erhölls genom att dubbla det föregående, till exempel: 1, 2, 4 ... För vissa problem, för att förenkla räkningen, kunde den första nummerserien börja med en ett annat nummer än ett, men principen att dubbla det föregående talet för att bilda nästa bevarades .
Mittemot enheten skrevs det minsta talet, i vårt fall är det 20, sedan skapades samma progression med detta nummer, så att varje efterföljande nummer erhölls genom att dubbla det föregående. En sådan serie siffror skrevs mittemot den första. Följaktligen skrevs motsatt 2 40 (det vill säga 20 x 2), motsatt 4 - 80 (det vill säga 40 x 2) ...
Ett nummer valdes från den andra raden, som var närmast 30 i värde, det vill säga det största talet i vårt exempel. Det är 20.
Siffran 20 i första raden motsvarade siffran 1. Dessa siffror memorerades.
Eftersom 30 var större än 20 och mindre än 40 (det vill säga summan av värdena för siffrorna från den andra raden gav inte 30), användes halvering därefter.
För att göra detta skrevs en sådan nummerserie, som börjar med 1/2, att varje efterföljande tal var hälften av det föregående: 1/2, 1/4, 1/8 ... För andra exempel kan en annan bråkdel vara användes, men principen att dela den föregående i halva siffror för bildandet av den efterföljande sparades.
Tvärtom skrevs 1/2 hälften av det minsta talet (som om bråket multiplicerades med ett tal), i vårt fall 20/2 = 10, då skapades samma progression med detta tal, så att varje efterföljande tal var hälften av föregående. En sådan serie siffror skrevs mittemot den första. Följaktligen, tvärtom, skrevs 1/4 5 (det vill säga 10/2) ... Om det var omöjligt att dividera ytterligare (det borde bara finnas heltal i den andra raden!), sedan, om nödvändigt (om lösningen ännu inte hade hittats), kompilerades en ny liknande serie med samma eller andra bråk (till exempel kunde 5 inte delas med 2, men kunde delas med 5), tills siffrorna från den andra raden valde resten av summan upp till ett större antal enligt problemets tillstånd.
Därefter var det nödvändigt att hitta ett sådant minsta antal nummer från den andra raden, som tillsammans med det tidigare hittade talet 20 skulle ge 30, det vill säga det största talet i vårt exempel. Detta nummer är 10 (20 + 10 = 30).
Siffran 10 från andra raden motsvarade bråkdelen 1/2 från första raden.
Förhållandet 30 till 20 var lika med summan av de valda siffrorna från den första raden, det vill säga 1 + 1/2 (= 1,5)

Divisionen var inte alltid associerad med sökningen efter bråktal, i det här fallet valdes det minsta antalet nummer från den andra raden, vilket totalt skulle ge det största antalet som ges av villkoren för problemet och lösningen av problemet i detta fall skulle vara summan av motsvarande tal från den första raden.

Ytterligare åtgärder

Ibland användes, tillsammans med dubblering och division på hälften, multiplikation och division med 5 och 10, samt med 50, 100, etc. (som en egenskap hos decimalmätsystemet).
I operationer med bråk användes kanoniska expansioner av bråk av typen 2/n (de var tänkta att vara kända utantill, eftersom de användes mycket ofta, till exempel 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1 /6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18, etc.), såväl som metoden "rött nummer" (ytterligare siffror som lades till bråket för att få det till en alikvot form skrevs i rött bläck). Denna metod användes för stora fraktioner. [6] sv:Rött hjälptal Till exempel måste 2/43 uttryckas som en summa av alikvotbråk (eftersom de gamla egyptierna bara använde bråk med en täljare lika med ett). För att göra detta multiplicerades täljaren och nämnaren med 42 (det vill säga 43 - 1), det visade sig 84/1806. Med samma metod som vid multiplikation eller division bestämdes talen som var multipler av nämnaren (1806) och skrevs med rött bläck: 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, sedan det minsta antalet sådana röda tal så att deras summa är lika med täljaren (84), dessa är 43, 21, 14 och 6. Slutligen skrevs bråket 2/43 som (43 + 21 + 14 + 6)/ 1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Nedbrytningen fullbordades.

Egyptiska bråk

Egyptiska bråk förmedlades av prepositionen r , som uttrycker ett förhållande. Hieroglyfiskt förmedlades denna preposition av tecknet

Till exempel skrevs det så här: ${\frac {1}{4))$

Egyptiska fraktioner alikvoterades . Som ett undantag hade de forntida egyptierna två symboler för bråk och : ${\frac {3}{4))$ ${\frac {2}{3))$

och

respektive.

Bråkexpansion en:RMP 2/n tabell

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21= 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Processen att lägga till bråk skilde sig inte från det moderna sättet att föra dem till en gemensam nämnare. Resultatet av multiplikationen med den största av de tillgängliga nämnarna skrevs under bråket med rött bläck, och det var inte nödvändigt att få heltal. Sedan adderade resultatet.

Uppgifter

Problem #1-6

Det är nödvändigt att dela mellan 10 personer 1, 2, 6, 7, 8, 9 bröd. Eftersom forntida egyptiska bråk var alikvoter, uttrycktes alla bråk med en täljare större än 1 (förutom undantag) som summan av bråk med 1 i täljaren. Med hjälp av resonemanget i papyrusen får vi följande lösningar:

1/10 = 1/10, det vill säga för att dela 1 bröd mellan 10 personer, måste du dela det i 10 delar och ge var och en en.
2/10=1/5, det vill säga för att dela 2 bröd mellan 10 personer behöver du dela varje bröd i 5 delar och ge var och en en.
6/10=1/2+1/10, det vill säga du måste dela 5 bröd på mitten, och ge varje halva, och sedan dela det återstående brödet i 10 delar och ge var och en.
7/10=2/3+1/30, det vill säga du måste först dela varje bröd i 3 delar, och ge vardera två, och sedan dela den återstående tredjedelen i 10 delar och ge var och en en.
8/10=2/3+1/10+1/30, det vill säga du måste först dela 7 bröd i 3 delar och ge var två, sedan dela det återstående brödet i 10 delar och ge vart och ett och sedan dela återstående tredjedel i 10 delar och ge var och en en.
9/10=2/3+1/5+1/30, det vill säga du måste dela 7 bröd i 3 delar, och ge var två, dela sedan de återstående 2 bröden i fem delar var och ge var och en, sedan , måste du dela den återstående tredjedelen i 10 delar och ge var och en en .

Problem # R26

Det okända talet ( aHa ) läggs till 1/4, som också innehåller aHa, och resultatet blir 15, d.v.s. $x+{\frac {1}{4}}\cdot x=15.$

Första steget: den forntida matematikern ersätter "x" med 4. Uppenbarligen är detta nummer inte lämpligt för lösningen, : $4+{\frac {1}{4}}\cdot 4\not =15$

✔	ett	fyra
✔	1/4	ett

	1+1/4	5

Resultat: 5.

Andra steget: I det första steget fick vi bara 5 istället för 15. Vad är sambandet mellan dessa två siffror?

✔	ett	5
✔	2	tio

	3	femton

Om vi multiplicerar 5 med 3 får vi 15. Vi multiplicerar talet "4" godtyckligt och talet "3" vi fick, så vi får önskat aHa , det vill säga 4 x 3 = aHa .

Tredje steget: beräkna 4 x 3:

	ett	3
	2	6
✔	fyra	12

	fyra	12

Svar: 12.

Fjärde steget: Kontrollera resultaten av våra beräkningar, d.v.s. $12+{\frac {1}{4}}\cdot 12=15.$

✔	ett	12
✔	1/4	3

	1+1/4	femton

Det önskade talet aHa är 12.

Problem # R44

Uppgift nr R44 indikerar att egyptierna kände till formeln för att hitta volymen av en rektangulär parallellepiped : där L , S respektive H är längden, bredden och höjden. $V=L\cdot S\cdot H,$

”Ett exempel på att beräkna volymen av en fyrkantig spannmålsladugård. Dess längd är 10, bredd 10 och höjd 10. Hur många korn får plats? Multiplicera 10 med 10. Det är 100. Multiplicera 100 med 10. Det är 1 000. Ta hälften av 1 000, det är 500. Det är 1 500. Du har mängden i påsar. Multiplicera 1/20 med 1500. Du får 75. Omvandla denna mängd korn till heqats (det vill säga multiplicera med 100) och du kommer att få svaret - 7500 heqats korn."

En påse eller "har" var lika med 75,56 liter och bestod av 10 heqats.

Problem # R48

	ett	Kapitel 8
	2	Kapitel 16
	fyra	32 sessioner
✔	åtta	64 sessioner

och

✔	ett	Kapitel 9
	2	Kapitel 18
	fyra	Kapitel 36
✔	åtta	72 sessioner

		81

En sechat eller arura (grekiskt namn) är lika med 100 kvadratmeter. armbågar, det vill säga det är 0,28 ha. I verkligheten var detta ett stycke mark inte 10 x 10 alnar, utan 1 x 100 alnar. En aln var lika med 52,5 cm och bestod i sin tur av 7 handflator, och varje handflata bestod av fyra fingrar.

Komplexiteten i denna uppgift ligger i det faktum att inga förklarande texter ges för den i papyrusen. Före oss är bara två tabeller med tal och en figur. Figuren visar en figur som liknar en oktagon eller en cirkel inskriven i en kvadrat.

Enligt en teori visar figuren en kvadrat, vars sidor är lika med längden på diametern på den inskrivna cirkeln. Arean av oktagonen beräknas med formeln: , i detta fall ska cirkelns yta vara 64 [7] . $9^{2}-2\cdot 3^{2}=63$

Den andra teorin, föreslagen av Michel Guillemot, förklarar ritningen mer exakt. Teorin säger att figuren visar en oregelbunden oktagon, vars area bör vara lika med en cirkel inskriven i en kvadrat. Arean av en sådan oktagon hittas av formeln: . Men Michel Guillemot gick längre och föreslog att de gamla egyptierna hade en idé om kvadraten av en cirkel och kunde bygga en lika stor kvadrat baserat på arean av en given cirkel. $9^{2}-(3^{2}+2\cdot 4)=64$

Ludwig Borchardt hittade en mycket liknande teckning på väggarna i templet i Luxor.

Problem # R50

"Det finns cirklar med 9 hattar. Vilken yta har cirkeln? Du måste subtrahera en från 9. Den återstår 8. Multiplicera 8 med 8. Detta blir lika med 64. Här är svaret för dig - cirkelns yta är 64 sektioner. En detaljerad beräkningsprocess:"

	1 x 9	= 9
✔	1/9 x 9	= 1

"Efter att ha subtraherat är det 8."

	1 x 8	= 8
	2 x 8	= 16
	4 x 8	= 32
✔	8 x 8	= 64

"Arean av en cirkel är 64".

1 hatt bestod av 100 alnar och var lika med 52,5 m. En sechat var lika med 0,28 hektar.

Uppenbarligen användes i det här fallet följande formel: . Här framgår att diametern är 9 mössor. Detsamma kan dock skrivas på annat sätt: . Den moderna formeln för att beräkna arean av en cirkel är: eller . Forskare tror att egyptierna för sin tid uppnådde stor framgång i matematik - de bestämde förhållandet mellan en cirkels omkrets och längden på dess diameter (eller ) lika med , det vill säga 3,1605. Detta är mycket nära sanningen (nummer ). Men "Problem R50" indikerar att egyptierna inte visste om förekomsten av konstanten . $Aire=\left(d-\left({\frac {1}{9}}\right)\cdot d\right)^{2}$ $Aire={\frac {64}{81}}\cdot d^{2}$ $\pi \cdot r^{2}$ ${\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}$ $\pi$ ${\frac {256}{81}}$ $\pi =3.1415926535897932384626433832795...$ $\pi$

Problem # R51

Ett exempel på att beräkna arean av en triangel . Om någon säger till dig: "Triangeln har en 'mryt' på 10 hattar och dess bas är 4 hattar. Vad är dess yta?" Du måste räkna ut hälften av 4. Multiplicera sedan 10 med 2. Här är svaret.

Ordet "mryt" betyder förmodligen höjd.

A={\frac {base}{2}}{mryt}

Egypternas formel är identisk med den moderna:

S={\frac {ah}{2}}

Problem # R52

Uppgift R52 handlar om att beräkna arean av en trapets .

"Vad är arean för en stympad triangel om dess höjd är 20 hattar, dess bas är 6 hattar och dess övre bas är 4 hattar? Vik den nedre basen av trapetsen med toppen. Få 10. Dela 10 på mitten. Och multiplicera sedan 5 med 20. Kom ihåg att 1 hatt = 100 alnar. Beräkna ditt svar."

	1 x 1000	= 1000
	1/2 x 1000	= 500


✔	1 x 1000	= 2000
	2 x 1000	= 4000
✔	4 x 1000	= 8000

		10 000 (dvs. 100 sechat )

Denna lösning kan skrivas i följande formel: . $A={\frac {1}{2}}\cdot (4+6)\cdot 20$

Problem # R56

Uppgifterna R56, R57, R58 och R59 diskuterar i detalj hur man beräknar lutningen på en pyramid.

Den forntida egyptiska termen " seked " betydde, från en modern synvinkel, kotangensen av en vinkel ( ctg α ). I gamla tider mättes det som längden på ett segment längs goniometerns mätlinjal, som också kallades "seked". Längden mättes i handflator och fingrar (1 handflata = 4 fingrar). Matematiskt hittades det genom förhållandet mellan halva basen och höjden.

"Metod för att beräkna en pyramid vars bas är 360 alnar och vars höjd är 250 alnar. För att få reda på hennes sekade måste du ta hälften av 360, vilket är 180. Sedan måste du dividera 180 med 250, vi får: 1/2, 1/5, 1/50 alnar (det vill säga 0,72 alnar). Eftersom en aln är 7 palmer måste du multiplicera resultatet med 7 (=5,04 palmer)."

	1/2 × 7 ;	7/2 = 3 1/2 _ _ _
	1/5 × 7 ;	7/5 = 1 1/4 och 1 1/5 _ _ _ _
	1/50 × 7 ;	7/50 = 1/10 och 1/25 _ _ _ _ _ _

I dag, när vi löser detta problem, skulle vi leta efter vinkelns kotangens, och känna till halvan av basen och apotem [8] . I allmänhet ser den egyptiska formeln för beräkning av seked av en pyramid ut så här: där b är 1/2 av pyramidens bas och h är dess höjd. Själva vinkeln i grader kan beräknas med hjälp av den inversa trigonometriska funktionen av bågtangensen eller - enligt Bradis- tabellen . $Seqed={\frac {b}{h}}\cdot 7$

Förhållandet mellan seked och lutningsvinklar:

Seked, fingrar	Seked, palmer	Vinkel, grader	Steg i grader per finger
femton	3,75	61,82°
16	fyra	60,26°	1,56°
17	4,25	58,74°	1,52°
arton	4.5	57,26°	1,47°
19	4,75	55,84°	1,42°
tjugo	5	54,46°	1,38°
21	5,25	53,13°	1,33°
22	5.5	51,84°	1,29°
23	5,75	50,60°	1,24°
24	6	49,40°	1,20°
25	6,25	48,24°	1,16°
26	6.5	47,12°	1,12°
27	6,75	46,04°	1,08°
28	7 (=1 aln)	45,00°	1,04°
29	7,25	43,99°	1,01°
trettio	7.5	43,03°	0,97°
31	7,75	42,09°	0,94°
32	åtta	41,19°	0,90°
33	8.25	40,31°	0,87°
34	8.5	39,47°	0,84°
35	8,75	38,66°	0,81°

Problem # R64

Problemnummer R64 berättar att i det gamla Egypten användes aritmetisk progression i beräkningar .

"Ett exempel på uppdelning i delar. Om någon säger till dig: vi har 10 heqat vete för 10 personer, men det är skillnad mellan dem i 1/8 heqat vete. I genomsnitt är detta 1 heqat. Subtrahera 1 från 10 , får vi 9. Ta hälften av skillnaden, d.v.s. 1/16. Multiplicera med 9. Lägg sedan till 1/2 och 1/16 heqat till medelvärdet och subtrahera 1/8 heqat från varje efterföljande person. Här är beräkningarna av vad vi pratar om: ".

	1 1/2 1/16
	1 1/4 1/8 1/16
	1 1/4 1/16
	1 1/8 1/16
	1 1/16
	1/2 1/4 1/8 1/16
	1/2 1/4 1/16
	1/2 1/8 1/16
	1/2 1/16
	1/4 1/8 1/16

	tio

Förklaring : Uppgiften är att dela upp 10 heqat vete mellan 10 personer. Låt oss utse personer: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 och H10. S är den totala mängden, dvs 10 hekats vete. N är antalet delar. Alla har olika antal hekats. Samtidigt har var och en 1/8 mer heqat än den föregående. Låt H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8, etc., den senare har mest vete. Progressionssteget är R = 1/8.

Vi hittar det genomsnittliga antalet hekat som distribueras till alla, det vill säga S/N = 10/10 = 1.

Sedan beräknar vi skillnaden som blir resultatet av den efterföljande divisionen. Det vill säga, N-1 = 10-1, är lika med 9. Så R/2 = 1/16 och R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Det största antalet beräknas med formeln: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Fördelning i 10 delar:

	H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
	H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
	H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
	H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
	H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
	H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
	H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
	Hl = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

	Totalt = 10

Det är mycket möjligt att lösningen av detta problem hade en praktisk tillämpning.

Du kan skriva lösningen i form av formler:

$\ H_{N}=(S/N)+(N-1)*R/2$

$\ H_{n-1}=H_{n}-r$

Problem # R79

Problemnummer R79 berättar att i det gamla Egypten användes geometrisk progression i beräkningar . Men vi vet bara att egyptierna använde siffrorna "2" och "1/2" för progressionen, det vill säga de kunde få sådana värden som: 1/2, 1/4, 1/8 ... och 2, 4, 8, 16 … Frågan om den praktiska användningen av geometrisk progression i det gamla Egypten förblir också öppen.

✔	ett	2801
✔	2	5602
✔	fyra	11204

	7	19607

	hus	7
	katter	49
	Möss	343
	Malt	2401 (skrivaren skrev av misstag 2301)
	Hekat	16807

		19607

Se även

Anteckningar

↑ Rhindens matematiska papyrus . britishmuseum.org . Hämtad 10 december 2019. Arkiverad från originalet 12 november 2020.
↑ London, British Museum Press, 1987
↑ BM 10058
↑ 1 2 I. Ya. Depman, aritmetikens historia. En vägledning för lärare - M .: 1965 (andra upplagan, reviderad), s. 196
↑ S. Clark, R. Engelbach, Byggnad och arkitektur i det antika Egypten. ISBN 978-5-9524-4351-8
↑ Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet, red. A. P. Jusjkevitj.- M.: 1970, s. 25
↑ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik , s.66
↑ Apotem - höjden på sidoytan på en vanlig pyramid.

Litteratur

Bobynin V.V. Mathematics of the old egyptians (baserad på papyrus Rinda). - M. , 1882.
Van der Waerden B.L. Awakening Science: The Mathematics of Ancient Egypt, Babylon och Grekland. — M .: Fizmatgiz , 1959. (Återtryck: M .: URSS , 2007)
Vygodsky M. Ya. Aritmetik och algebra i den antika världen. — M .: Nauka , 1967.
Raik A.E. Essäer om matematikens historia i antiken. - Saransk: Mordovisk stat. förlag, 1977.
Rinda papyrus // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Gillings RJ Matematik på faraonernas tid. — Cambridge: MIT Press , 1972.
Peet T.E. The Rind matematisk papyrus. - Liverpool University Press, L .: Hodder & Stoughton, 1923.
Robins G., Shute CCD The Rhind matematisk papyrus: en forntida egyptisk text. — N. Y .: Dover, 1987.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4735890-7

Språk och skrift i det antika Egypten

Språk	tidig egyptisk gammal egyptisk Mellan egyptiska ny egyptisk demotiska Ptolemaic koptisk
Brev	skrifttyper: hieroglyfer hieratik demotiska härlett från den egyptiska skriften: Koptisk Meroitisk Gammal nubisk

Litteratur i det antika Egypten

Lärdomar	Viziers instruktion Merikars undervisning Kagemnis läror Ptahhoteps läror Sagan om den vältalige bonden Hetis undervisning Amenemopes läror Amenemhats läror Harjedefs lära Lojal undervisning Reflektioner av Hahaperraceneb
Legender, profetior, klagomål	Desillusionerades samtal med hans Ande Sinuhes berättelse Ipuver säger Fångst av Yupa Dikt Pentaura Unu-Amons resor Berättelsen om Neferkare och befälhavaren Sisin Bråk mellan Apepi och Seqenenre Stormstele Hunger Stele Stela Bentresh Profetia om Neferti Demotisk krönika lammets orakel Potters orakel
Sagor, sånger	Sagan om de skeppsbrutna dödsdömd prins Låten om Harper En berättelse om två bröder Sanning och lögn Sagan om Kung Cheops hov Khonsemheb och spöket Tales of Prince Setna (Setna II)
Avhandlingar	papyrus ahmes papyrus hurst Boka Kemit Egyptisk matematisk läderrulle Moskvas matematiska papyrus Matematisk papyrus från Lahun Berlin Papyrus 6619 Ahmim Reisner Papyrus papyrus kahuna Papyrus Edwin Smith Papyrus Ebers Papyrus London Medical Papyrus Carlsberg Beatty Brooklyn Papyrus Papyrus Brugsha Papyrus Erman X Ramesseum onomasticon
Religiösa texter	papyrus ani Amduat Hymn till Aten Papyrus Golenishcheva dödboken Portarnas bok Boken om den himmelska kon Sarkofagernas texter Evighetens resebok Breath Böcker jorden bok grottbok Litany of Ra Stele Pyramidtexter
Dokumenten	Turin kunglig papyrus Amarnas arkiv Turin rättslig papyrus Papyrus Harris Papyrus Abbott Turin papyrus karta Ptolemaiska dekret Egyptisk-hettitisk fredsfördrag Stele av Merneptah Stora Karnak-inskriften Sten från södra Saqqara
Diverse	lista över forntida egyptiska papyrus Ismet-Ahom inskription Stockholms papyrus Turin erotisk papyrus

Klassificering av egyptiska hieroglyfer (enligt A. H. Gardiner)

A - en man och hans yrken

B - kvinna och hennes yrken

C - antropomorfa gudar

D - delar av människokroppen

E - däggdjur

F - kroppsdelar av däggdjur

G - fåglar

H - kroppsdelar av fåglar

I - amfibier och reptiler

K - fisk och fisk kroppsdelar

L - ryggradslösa djur

M - träd och växter

N - himmel, jord, vatten

O - byggnader och deras delar

P - fartyg och delar av fartyg

Q - hushålls- och campingredskap

R - tempelredskap och heliga emblem

S - kronor, kläder, stavar, etc.

T - militär, jaktvapen, etc.

U - verktyg för lantbruk och olika hantverk

V - korgar, väskor, repprodukter, etc.

W - kärl av sten och lergods

X - bröd av olika slag

Y - skriv- och speltillbehör, musikinstrument

Z - olika linjer och geometriska former

Aa - oklassificerbar

grammatik

"klassisk" - A. Erman
G. Lefebvre
A.H. Gardiner

"standard" - H. Ya. Polotsky

"modern" - J. Allen
J. Borhouts
V. Schenkel