Noethers teorem

Den stabila versionen checkades ut den 20 oktober 2022 . Det finns overifierade ändringar i mallar eller .

Emmy Noethers teorem är ett teorem som bevisades av Emmy Noether 1918. Det definierades först i verk av forskarna vid Göttingen- skolan D. Gilbert , F. Klein och Emmy Noether själv .

Allmän information

Symmetri i fysik
omvandling	Motsvarande invarians	Motsvarande fredningslag _
↕ Sändningstid _	Tidens enhetlighet	…energi
⊠ C , P , CP och T - symmetrier	Tidsisotropi _	... paritet
↔ Sändningsutrymme _	Rymdens homogenitet	…impuls
↺ Rotation av rymden	Isotropi av rymden	… fart
⇆ Lorentz-grupp (boostar)	Relativitet Lorentz kovarians	… masscentrums rörelser
~ Mätare transformation	Mätarinvarians	... ladda

Noethers teorem säger att varje kontinuerlig symmetri i ett fysiskt system motsvarar någon bevarandelag :

tidens homogenitet motsvarar lagen om energibevarande ,
homogenitet i rymden motsvarar lagen om bevarande av momentum ,
rymdens isotropi motsvarar lagen om bevarande av rörelsemängd ,
gaugesymmetri motsvarar lagen om bevarande av elektrisk laddning osv.

Satsen är vanligtvis formulerad för system med funktionsfunktion och uttrycker invariansen av Lagrangian med avseende på någon kontinuerlig grupp av transformationer.

Om åtgärden är invariant under en n-parameter kontinuerlig grupp av transformationer, så finns det n oberoende bevarandelagar.

Noethers teorem formulerar ett tillräckligt villkor för existensen av bevarandelagar. Detta villkor är dock inte nödvändigt, så det kan finnas bevarandelagar som inte följer av det (sådana exempel är kända) [1] . Det finns ett välkänt teorem som formulerar de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för existensen av bevarandelagar [2] .

Formulering

Noethers första sats

Om handlingsintegralen är invariant med avseende på någon -parametrisk ändlig Lie-grupp , då blir linjärt oberoende kombinationer av Lagrangederivator (vänster sida av Lagrange-Eulers ekvationer) till divergenser; och vice versa, det sista villkoret innebär invarians med avseende på någon grupp [3] . $S$ $r$ $G_{r}$ $r$ $S$ $G_{r}$

I teoretisk fysik kallas uttryck under divergensens tecken för strömmar. Om de lagrangiska derivatorna är lika med noll (Euler-ekvationerna är uppfyllda), försvinner strömmarnas divergenser. Detta resulterar i differentiella bevarandelagar. Integrala bevarandelagar såsom lagen om bevarande av elektrisk laddning eller lagen om bevarande av energi erhålls genom att integrera differentiella bevarandelagar över en speciellt utvald 3-dimensionell hyperyta under vissa randvillkor [4] .

Noethers första inversa teorem

Om linjärt oberoende kombinationer av Lagrangederivator (de vänstra delarna av Lagrange-Eulers ekvationer) förvandlas till divergenser, då är aktionsintegralen invariant med avseende på den -parametriska finita Lie-gruppen [4] . $r$ $r$

Noethers andra sats

En generalisering av Noethers första teorem för fallet med funktionaler invarianta under godtyckliga oändliga Lie-grupper är Noethers andra teorem. ${\displaystyle G_{\infty r))$

Om handlingsintegralen är invariant med avseende på någon -parametrisk oändlig Lie-grupp , där det finns derivator upp till -: e ordningen inklusive, så finns det identiska relationer mellan de lagrangiska derivatorna och deras derivator upp till -: e ordningen. Det omvända är också sant. [3] $S$ $r$ ${\displaystyle G_{\infty r))$ $k$ $r$ $k$

Noethers andra omvända sats

Om det finns identiska relationer mellan lagrangiska derivator och derivator från dem upp till -th ordningen inklusive, så är handlingsintegralen invariant med avseende på den oändliga Lie-gruppen , vars transformationer innehåller derivator upp till -th ordningen [4] . $r$ $k$ ${\displaystyle G_{\infty r))$ $k$

Klassisk mekanik

Varje enparametersgrupp av diffeomorfismer som bevarar Lagrange-funktionen motsvarar den första integralen av systemet lika med $g^{s}(q_{i})$

I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\Bigg |}_{s=0}

När det gäller infinitesimala transformationer: låt den infinitesimala koordinattransformationen ha formen

g^{s}({\vec q})={\vec q}_{0}+s{\vec \psi }({\vec q},\;t)

och Lagrange-funktionen är invariant under dessa transformationer, dvs. $L(q,\;{\dot q},\;t)$

{\frac {d}{ds}}L({\vec q}_{0}+s{\vec \psi }({\vec q},\;t),\;{\dot {{\vec q}_{0}}}+s{\dot {{\vec \psi }}}({\vec q},\;t),\;t)=0

på

s=0.

Då har systemet en första integral lika med

I=\left({\vec \psi }({\vec q},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\vec q))))}\ höger)=\summa _{{i=1}}^{n}\psi _{i}({\vec q},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot q} _{i}}}.

Satsen kan generaliseras till fallet med transformationer som också påverkar tiden, om vi föreställer oss dess rörelse som beroende av någon parameter , och i rörelseprocess . Sedan från förvandlingarna $\tau$ $t=\tau$

g^{s}({\vec {q)))={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}}),\ ; t),

g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q)),\;t),

följer den första integralen

I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}}\right).

Fältteori

Noethers teorem tillåter direkt generalisering till fall av system med ett oändligt antal frihetsgrader , exempel på dessa är gravitations- och elektromagnetiska fält. Låt nämligen systemets lagrangefunktion bero på potentialerna, som i sin tur beror på koordinaterna. Åtgärdsfunktionen kommer att se ut $n$ $k$

S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.

Låt enparametergruppen av diffeomorfismer i det potentiella rummet bevara Lagrange-funktionen; då sparas vektorn $g^{s}$

J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\ mu }A^{i})}},

kallas Noether-flödesvektorn . Genom upprepade index antyds summering: . Poängen med att bevara Noether-flödesvektorn är det $\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu ))}$

\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,

därför är flödet genom en stängd yta i koordinatutrymmet lika med 0. I synnerhet om vi pekar ut en av koordinaterna, kallad tid , och betraktar hyperplan med konstant tid, då är flödet genom ett sådant hyperplan konstant i tid, förutsatt att fältet faller av snabbt i oändligheten och att hyperytan är icke- kompakt är energin -momentumtensor för ett elektromagnetiskt fält har denna egenskap. I ett vakuum är fältet Lagrangian inte explicit beroende av koordinaterna, så det finns en bevarad kvantitet som är associerad med energi-momentumflödet. $J$ $J$

Differentialekvationer

Låt det finnas ett variationsproblem med åtgärdens funktion . Här är Lagrangian , är oberoende variabler, är beroende variabler, det vill säga funktioner av . kan också bero på derivat med avseende på , inte nödvändigtvis av första ordningen. $S=\int L({\vec u},{\vec x},\dots )\,d{\boldsymbol x}$ $L$ $x$ $u$ $x$ $L$ $u$ $x$

Variationsproblemet för en sådan funktionell leder till Euler–Lagrange differentialekvationer , som kan skrivas som

\mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,

var är Euler-Lagrange-operatörerna: $\mathrm{E}$

\mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\summa _{i=1}^{p}{\frac {d}{ dx_{i))}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i))^{\alpha ))}+\dots ,

$u_{{x_{i}}}^{{\alpha }}$ är derivatan av funktionen med avseende på variabeln . Ellipsen betyder att om det beror på derivator av en ordning högre än den första, måste du lägga till motsvarande termer till . I kompakt notation $u^{{\alpha ))$ $x_{i}$ $L$ $\mathrm{E}$

{\mathrm {E_{\alpha }}}=\summa _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{{\alpha ))))

var är ett multiindex. Summeringen görs över alla termer så att derivatan ingår i . $J$ $u_{J}^{{\alpha ))$ $L$

Noethers teorem relaterar de så kallade variationssymmetrierna hos det funktionella till de bevarandelagar som gäller för lösningar av Euler-Lagrange-ekvationerna. $S$

Bevarandelagar

Bevarandelagen för ett system av differentialekvationer är ett uttryck för formen

\mathrm {Div} {\vec {P}}=0,

vilket är giltigt på lösningarna av detta system, det vill säga så att om dessa differentialekvationer ersätts i det, kommer en identitet att erhållas. I detta fall beaktas Euler-Lagranges differentialekvationer. Här är den totala divergensen (divergens med totala derivator ) med avseende på . är jämna funktioner av , och derivator med avseende på . ${\mathrm {Div}}$ $x$ ${\vec P}$ $u$ $x$ $u$ $x$

De triviala bevarandelagarna är bevarandelagarna

för vilket i sig är en identitet utan att ta hänsyn till några differentialekvationer; ${\mathrm {Div}}{\vec P}=0$
eller för vilken den blir 0 omedelbart efter substitution av differentialekvationer, utan att beräkna divergensen (den identiska nollan bevaras på lösningarna); ${\vec P}$
eller för vilka det finns en linjär kombination av de tidigare typerna. ${\vec P}$

Om för två bevarandelagar med funktioner och skillnaden ger en trivial bevarandelag, så sägs sådana två bevarandelagar vara likvärdiga. ${\vec P}$ $\vec R$ ${\vec P}-{\vec R}$

Varje fredningslag är likvärdig med en fredningslag i karaktäristisk form, det vill säga en för vilken

\mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta )),

var finns de uttryck som ingår i definitionen av differentialekvationssystemet: . För det beskrivna fallet och $\Delta$ ${\vec \Delta }=0$ $\Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)$

\mathrm {Div} {\vec {P}}=\summa _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L).

$Q_{\alpha}$ beror på , och derivat med avseende på och kallas egenskaper hos fredningslagen. $u$ $x$ $u$ $x$

Variationssymmetrier

Låt det finnas ett generaliserat vektorfält

{\vec {v}}=\summa _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\summa _ {\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.

"Generaliserad" förstås i betydelsen att och kan bero inte bara på och utan också på derivat med avseende på . $\xi$ $\varphi$ $u$ $x$ $u$ $x$

Definition: kallas en variationssymmetri av en funktionell om det finns en sådan uppsättning funktioner som ${\vec {v}}$ $S$ ${\vec {{\mathrm {B}}}}({\vec u},{\vec x},\dots )$

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} \,{\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} )).

${\mathrm {pr}}\,{\vec v}$ - fortsättning . Fortsättningen tar hänsyn till att verkan på och också orsakar en oändlig ändring av derivatorna, och ges av formlerna ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$ $u$ $x$

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha ,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac { \partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\ summa _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}.

I formeln för fortsättning är det nödvändigt att, förutom , villkor med sådana för vilka de träder in eller, i det allmänna fallet, i det uttryck som fortsättningen verkar på. ${\vec {v}}$ $\partial /\partial u_{J}^{\alpha }$ $u_{J}^{\alpha }$ $L$

Innebörden av definitionen av variationssymmetri är att - dessa är infinitesimala transformationer som ändrar det funktionella i första ordningen på ett sådant sätt att Euler-Lagrange-ekvationerna omvandlas till ekvivalenta. rättvis ${\vec {v}}$ $S$

sats : om är en variationssymmetri, så är det en (generaliserad) symmetri av Euler-Lagrange ekvationerna: ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{\mathrm {E} _{\alpha }(L)= 0}=0.

Denna formel innebär att de oändliga förändringarna av uttrycken , skrivna här som , blir 0 på lösningar. ${\mathrm {E}}_{\alpha }(L)$ ${\mathrm {pr}}\,{\vec v}\,{\mathrm {E}}_{\alpha }(L)$

Vektorfältens egenskaper

Uppsättningen funktioner (i notationen ovan) kallas egenskapen för vektorfältet . Istället kan du ta vektorfältet $Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }$ ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$

{\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},

som kallas den evolutionära representanten . ${\vec {v}}$

${\vec {v}}$ och bestämma i huvudsak samma symmetri, därför, om egenskaperna är kända , kan vi anta att symmetrin därmed också är given. Fortsättningen definieras på samma sätt som fortsättningen , men är formellt enklare, eftersom bidraget från . ${\vec v}_{Q}$ $Q_{\alpha}$ ${\vec v}_{Q}$ ${\vec {v}}$ $\xi$

Noethers teorem etablerar ett samband mellan egenskaperna hos bevarandelagar och egenskaperna hos vektorfält.

Noethers teorem

Ett generaliserat vektorfält definierar en symmetrigrupp för en funktionell om och endast om dess egenskap är en egenskap hos bevarandelagen för motsvarande Euler-Lagrange-ekvationer. ${\vec {v}}$ $S$ ${\vec Q}$ ${\mathrm {Div}}{\vec P}=0$

Bevarandelagar

I klassisk mekanik härleds lagarna för bevarande av energi, rörelsemängd och rörelsemängd från homogeniteten/isotropin hos systemets lagrange - Lagrangian (Lagrange-funktionen) förändras inte med tiden av sig själv och förändras inte genom översättningen eller rotation av systemet i rymden. I huvudsak betyder detta att när man betraktar ett visst system som stängt i laboratoriet, kommer samma resultat att erhållas oavsett var laboratoriet ligger och tidpunkten för experimentet. Andra symmetrier av systemets Lagrangian, om någon, motsvarar andra kvantiteter som bevaras i det givna systemet ( integraler av rörelse ); till exempel leder symmetrin hos Lagrangian av gravitations- och Coulomb -tvåkroppsproblemet till bevarandet av inte bara energi, rörelsemängd och rörelsemängd, utan också Laplace-Runge-Lenz-vektorn .

Applikationer

Noethers sats gör det möjligt för en att få betydande information om egenskaperna hos lösningar till ett system av differentialekvationer endast baserat på deras symmetri. Det är också en av metoderna för att integrera vanliga differentialekvationer , eftersom det i vissa fall tillåter att hitta de första integralerna av ett ekvationssystem och därmed minska antalet okända funktioner. Till exempel:

Systemets momentumbevarande följer av dess invarians med avseende på rumsliga förskjutningar. Mer specifikt, om en förskjutning längs X -axeln inte ändrar ekvationssystemet, så bevaras momentum längs den axeln . $p_{x}$
Bevarandet av rörelsemängd följer av systemets invarians med avseende på rymdrotationer .
Lagen om energibevarande är en konsekvens av tidens homogenitet, vilket gör att du godtyckligt kan flytta tidens ursprung.

I fallet med partiella differentialekvationer är det allmänt sett nödvändigt att leta efter ett oändligt antal första integraler. Även om man känner till dem är det vanligtvis inte lätt att skriva ut en generell lösning.

På grund av dess grundläggande karaktär används Noethers teorem inom sådana områden av fysiken som kvantmekanik , för själva introduktionen av begreppen rörelsemängd, rörelsemängd, etc. Invariansen av ekvationer med avseende på vissa symmetrier blir den enda essensen av dessa storheter och garanterar deras bevarande.

I kvantfältteorin är analogen till Noethers teorem Ward-Takahashi-identiteterna , som gör att man kan få ytterligare bevarandelagar. Till exempel följer lagen om bevarande av elektrisk laddning från det fysiska systemets invarians med avseende på förändringen i fasen av partikelns komplexa vågfunktion och motsvarande kalibrering av vektorn och skalärpotentialen för det elektromagnetiska fältet.

Noether-laddningen används också för att beräkna entropin för ett stationärt svart hål [5] .

Anteckningar

↑ V. A. Dorodnitsyn, G. G. Yelenin Symmetri av icke-linjära fenomen // Datorer och icke-linjära fenomen. - M., Nauka, 1988. - sid. 168
↑ Ibragimov N. Kh Transformationsgrupper i matematisk fysik. - M., Nauka, 1983. - sid. 229
↑ 1 2 Emmy Noether Invariant variationsproblem // Variationsprinciper för mekanik / ed. Polak L. S. - M., Fizmatlit, 1959. - sid. 613-614
↑ 1 2 3 Konopleva N. P. , Popov V. N. Mätfält. - M., Atomizdat, 1980. - sid. 56, 69, 70
↑ Beräknar entropin för stationära svarta hål Arkiverad 10 maj 2017 på Wayback Machine . (Engelsk)

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - Ed. 5:a. - M . : Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Ibragimov N. Kh Transformationsgrupper i matematisk fysik. — M .: Nauka , 1983. — 280 sid.
Gelfand I. M., Fomin S. V. Variationsanalys. — M .: Nauka , 1961. — 228 sid.

Länkar

Översättning av Noethers artikel till engelska
Artikel om Noethers teorem , av John Baez
E. Noethers upptäckt av den djupa kopplingen mellan symmetrier och bevarandelagar av Nina Byers
Noethers sats på MathPages. (Engelsk)
Symmetrisk energi-momentum-tensor i Maxwell, Yang-Mills och Proca-teorier erhållna med endast Noethers sats . (Engelsk)
Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. Om begreppet mätsymmetri av generisk lagrangisk fältteori. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003 .
Yakovenko G. N. Emmy Noethers teorem under kursen i teoretisk mekanik vid MIPT // på institutionens portal

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Litauisk universal Britannica (online)