Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar

Ett nödvändigt villkor och ett tillräckligt villkor  är typer av villkor som är logiskt relaterade till någon proposition . Skillnaden mellan dessa villkor används i logik och matematik för att beteckna typer av kopplingar av bedömningar.

Nödvändigt villkor

Om en implikation är ett absolut sant påstående, så är påståendets sanning ett nödvändigt villkor för påståendets sanning [1] [2] .

Nödvändiga villkor för sanningen av ett påstående A är de villkor utan vilka A inte kan vara sann.

Påstående P är ett nödvändigt villkor för påstående X när (sant) X antyder (sant) P. Det vill säga, om P är falskt, så är X det också.

För bedömningar X av typen "objektet tillhör klassen M", kallas en sådan bedömning P en egenskap (av element) hos M.

Tillräckligt skick

Om implikationen är ett absolut sant påstående, så är påståendets sanning ett tillräckligt villkor för påståendets sanning [1] [2] .

Tillräckliga villkor är sådana villkor, i närvaro (uppfyllelse, iakttagande) av vilka påståendet B är sant.

Proposition P är ett tillräckligt villkor för proposition X när (sant) P antyder (sant) X, det vill säga om P är sant är det inte längre nödvändigt att markera X.

För bedömningar X av typen "ett föremål tillhör klassen M" kallas en sådan bedömning P ett tecken på medlemskap i klassen M.

Nödvändigt och tillräckligt skick

Ett påstående K är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för ett påstående X när K både är ett nödvändigt villkor för X och ett tillräckligt. I det här fallet säger de också att K och X är likvärdiga , eller likvärdiga , och betecknar eller .

Detta följer av den identiskt sanna formeln som relaterar till implikationen och ekvivalensoperationen [3] :

För bedömningar X av typen "ett objekt tillhör klassen M" kallas en sådan bedömning K för ett kriterium för att tillhöra klassen M.

Ovanstående uttalanden om nödvändiga och tillräckliga villkor kan tydligt demonstreras med hjälp av sanningstabellen med logiska uttryck.

Tänk på de fall där implikationen är sann. Faktum är att om domen är ett nödvändigt villkor för domen måste det vara sant för att implikationen ska vara sann, samtidigt är domen ett tillräckligt villkor för domen , vilket betyder att om det är sant så måste det vara Sann.

Liknande resonemang fungerar i motsatt fall, när omdöme är en nödvändig förutsättning för bedömning och omdöme är en tillräcklig förutsättning för bedömning .

Om är ett nödvändigt och tillräckligt villkor , sett från sanningstabellen, måste båda bedömningarna vara sanna eller så måste båda bedömningarna vara falska.

A	B
0	0	ett	ett	ett
0	ett	ett	0	0
ett	0	0	ett	0
ett	ett	ett	ett	ett

Exempel

Påstående X: "Vasya får ett stipendium vid detta universitet."
Nödvändigt villkor P: "Vasya är en student vid detta universitet."
Tillräckligt tillstånd F: "Vasya studerar vid detta universitet utan trippel."
Resultat R: "Få ett stipendium vid detta universitet."

Denna formel kan representeras som en villkorlig syllogism på flera sätt:

1) formel: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P);

2) officiellt accepterat format:

Om Vasya studerar utan trippel vid detta universitet, får han ett stipendium.
Om Vasya får ett stipendium, är han en student vid detta universitet.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
Om Vasya studerar utan trippel vid detta universitet, då är han student vid detta universitet.

3) med vanligt talresonemang:

Av det faktum att Vasya är student följer det ännu inte att han får ett stipendium. Men detta villkor är nödvändigt, det vill säga om Vasya inte är en student, får han uppenbarligen inte stipendier.

Om Vasya studerar vid ett universitet utan trippel, får han verkligen ett stipendium. Student Vasya kan dock få ett stipendium (i form av bidrag) om han studerar med trippel, men till exempel har en kronisk sjukdom.

Den allmänna regeln är följande:
I implikationen A → B :
A  är ett tillräckligt villkor för B och
B  är ett nödvändigt villkor för A .

Se även

• inblandning
• Då och först då

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Edelman, 1975 , sid. trettio.
2. ↑ 1 2 Gindikin, 1972 , sid. 21.
3. ↑ Edelman, 1975 , sid. 26.

Litteratur

• Edelman S. L. Matematisk logik. - M . : Högre skola, 1975. - 176 sid.
• Gindikin S. G. Algebra av logik i uppgifter. - M. : Nauka, 1972. - 288 sid.

Länkar

• Video arkiverad 15 april 2016 på Wayback Machine på nödvändiga och tillräckliga villkor
• " Nödvändighet och tillräcklighet arkiverad 10 oktober 2019 på Wayback Machine " i MathIt lärobok

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss