Laplace-Runge-Lentz vektor

I den här artikeln är vektorer i fet stil och deras absoluta värden är kursiverade, till exempel

|{\mathbf {A}}|=A

Inom klassisk mekanik är Laplace-Runge-Lenz-vektorn en vektor som huvudsakligen används för att beskriva formen och orienteringen av en bana där en himlakropp kretsar runt en annan (till exempel den bana där en planet kretsar runt en stjärna). När det gäller två kroppar, vars växelverkan beskrivs av Newtons universella gravitationslag , är Laplace-Runge-Lenz-vektorn en integral av rörelse , det vill säga dess riktning och storlek är konstant oavsett vid vilken punkt i omloppsbanan de är beräknade [1] ; de säger att Laplace-Runge-Lenz-vektorn är bevarad i gravitationssamverkan mellan två kroppar. Detta uttalande kan generaliseras till alla problem med två kroppar som interagerar genom en central kraft , som varierar omvänt med kvadraten på avståndet mellan dem. Ett sådant problem kallas det keplerska problemet [2] .

Till exempel uppstår en sådan potential när man betraktar klassiska banor (utan att ta hänsyn till kvantisering) i problemet med rörelsen hos en negativt laddad elektron som rör sig i det elektriska fältet i en positivt laddad kärna. Om Laplace-Runge-Lenz-vektorn anges, kan formen av deras relativa rörelse erhållas från enkla geometriska överväganden, med hjälp av lagarna för bevarande av denna vektor och energi.

Enligt överensstämmelseprincipen har Laplace-Runge-Lenz-vektorn en kvantanalog , som användes i den första härledningen av väteatomens spektrum [3] , även före upptäckten av Schrödinger-ekvationen .

Keplerproblemet har en ovanlig egenskap: slutet av momentumvektorn rör sig alltid i en cirkel [4] [5] [6] . På grund av placeringen av dessa cirklar, för en given total energi , är Keplers problem matematiskt ekvivalent med en partikel som rör sig fritt i en fyrdimensionell sfär [7] . Enligt denna matematiska analogi är den konserverade Laplace-Runge-Lenz-vektorn ekvivalent med de ytterligare komponenterna i rörelsemängden i det fyrdimensionella rummet [8] . ${\mathbf {p}}$ $E$ $S_{{3}}$

Laplace-Runge-Lenz-vektorn är också känd som Laplace -vektorn , Runge-Lenz-vektorn och Lenz-vektorn , även om ingen av dessa vetenskapsmän först härledde den. Laplace-Runge-Lenz-vektorn har återupptäckts flera gånger [9] . Det är också ekvivalent med den dimensionslösa excentricitetsvektorn i himlamekanik [10] . På samma sätt finns det ingen allmänt accepterad beteckning för det, även om . För olika generaliseringar av Laplace-Runge-Lenz-vektorn, som definieras nedan, används symbolen . $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$

Sammanhang

En enda partikel som rör sig under påverkan av någon konservativ central kraft har minst fyra rörelseintegraler (bevarade kvantiteter under rörelsen): total energi och tre komponenter av rörelsemängd (vektor ). Partikelns bana ligger i ett plan, som bestäms av partikelns initiala rörelsemängd , (eller motsvarande hastigheten ) och koordinaterna, det vill säga radievektorn mellan kraftcentrum och partikeln (se fig. 1). Detta plan är vinkelrät mot en konstant vektor , som kan uttryckas matematiskt med hjälp av punktprodukten . $E$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {L}}=0$

Som definieras nedan är Laplace-Runge-Lenz-vektorn alltid i rörelseplanet, det vill säga för vilken central kraft som helst. Den är också konstant endast för en kraft som beror omvänt på kvadraten på avståndet [2] . Om den centrala kraften är ungefär beroende av den omvända kvadraten på avståndet är vektorn ungefär konstant i längd men roterar långsamt. För de flesta centrala krafter är denna vektor dock inte konstant, utan ändras i längd och riktning. Den generaliserade konserverade Laplace-Runge-Lenz vektorn kan definieras för alla centrala krafter, men denna vektor är en komplex funktion av position och uttrycks vanligtvis inte analytiskt i elementära eller speciella funktioner [11] [12] . $\mathbf {A}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$

Historik

Laplace-Runge-Lenz-vektorn är en bevarad kvantitet i Kepler-problemet och är användbar för att beskriva astronomiska banor , som rörelsen av en planet runt solen. Det har dock aldrig varit allmänt känt bland fysiker, kanske för att det är en mindre intuitiv vektor än momentum och vinkelmomentum . Laplace-Runge-Lenz-vektorn har självständigt upptäckts flera gånger under de senaste tre århundradena [9] . Jakob Herman var den förste som visade vad som är bevarat för specialfallet med en central kraft som beror omvänt på kvadraten på avståndet [13] och fann sitt samband med excentriciteten i en elliptisk bana. Hermanns arbete generaliserades till sin moderna form av Johann Bernoulli 1710 [ 14] . I sin tur återupptäckte Pierre-Simon Laplace bevarandet i slutet av 1700-talet , vilket bevisade detta analytiskt och inte geometriskt, som hans föregångare [15] . $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

I mitten av 1800-talet härledde William Hamilton motsvarigheten till excentricitetsvektorn definierad nedan [10] , och använde den för att visa att rörelsemängdsvektorns ände rör sig i en cirkel under verkan av en central kraft som är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet (Fig. 3) [4] . I början av 1900-talet fick Willard Gibbs samma vektor med hjälp av vektoranalys [16] . Gibbs härledning användes av Carl Runge i den populära tyska läroboken om vektorer som ett exempel [17] , som Wilhelm Lenz hänvisade till i sin uppsats om den kvantmekaniska (gamla) behandlingen av väteatomen [18] . ${\mathbf {p}}$

1926 användes denna vektor av Wolfgang Pauli för att härleda spektrumet av väteatomen med hjälp av modern matriskvantmekanik snarare än Schrödinger-ekvationen [3] . Efter Paulis publicering blev vektorn främst känd som Runge-Lenz-vektorn .

Matematisk definition

För en enskild partikel som rör sig under inverkan av en central kraft , som beror omvänt på kvadraten på avståndet och beskrivs av ekvationen , definieras Laplace-Runge-Lenz-vektorn matematiskt av formeln [2] $\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ $\mathbf {A}$

{\mathbf {A}}={\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}},

var

$m$ är massan av en punktpartikel som rör sig under inverkan av en central kraft,
${\mathbf {p}}$ är momentumvektorn ,
${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\ gånger {\mathbf {p}}$ är rörelsemängdsvektorn ,
$k$ är en parameter som beskriver storleken på den centrala kraften,
${\mathbf {{\hat {r))))$ är enhetsvektorn, dvs där är positionsvektorn för partikeln och är dess längd. ${\mathbf {{\hat {r}}}}={\frac {{\mathbf {r}}}{r}}$ $\mathbf {r}$ $r$

Eftersom vi antog att kraften är konservativ , är den totala energin bevarad $E$

E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k} {r}}.

Det följer av kraftens centralitet att rörelsemängdsvektorn också bevaras och bestämmer i vilket plan partikeln rör sig. Laplace-Runge-Lenz-vektorn är vinkelrät mot rörelsemängdsvektorn och ligger alltså i omloppsplanet . Ekvationen är korrekt eftersom vektorerna och är vinkelräta . $\mathbf{L}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ ${\mathbf {p}}\ gånger {\mathbf {L}}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{L}$

Denna definition av Laplace-Runge-Lenz-vektorn är tillämplig på en enpunktspartikel med massa som rör sig i en stationär (tidsoberoende) potential. Samma definition kan också utökas till ett tvåkroppsproblem, som Keplers problem, genom att ersätta den reducerade massan av de två kropparna och vektorn mellan de två kropparna. $\mathbf {A}$ $m$ $m$ $\mathbf {r}$

Cirkulär impulslokus

Bevarandet av Laplace-Runge-Lenz-vektorn och vinkelmomentvektorn används för att bevisa att momentumvektorn rör sig i en cirkel under inverkan av en central kraft som är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet. Genom att beräkna vektorprodukten och , kommer vi fram till en ekvation för $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$

L^{2}{\mathbf {p}}={\mathbf {L}}\times {\mathbf {A}}-mk{\hat ({\mathbf {r}}}}\times {\mathbf { L}}.

Genom att rikta vektorn längs axeln och huvudhalvaxeln längs axeln kommer vi fram till ekvationen $\mathbf{L}$ $z$ $x$

p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.

Med andra ord är rörelsemängdsvektorn avgränsad av en cirkel med radie , vars centrum ligger vid punkten med koordinater . Excentriciteten motsvarar cosinus för vinkeln som visas i fig. 2. För korthetens skull kan du ange en variabel . Den cirkulära hodografen är användbar för att beskriva symmetrin i Kepler-problemet. ${\mathbf {p}}$ $mk/L$ $(0,\;A/L)$ $e$ $\eta$ $p_{0}={\sqrt {2m|E|}}$

Integraler av rörelse och superintegrerbarhet

Sju skalära storheter: energi och komponenter i Laplace-Runge-Lenz-vektorerna och rörelsemängd är sammankopplade med två relationer. För vektorer är ortogonalitetsvillkoret uppfyllt och energin ingår i uttrycket för den kvadratiska längden av Laplace-Runge-Lenz-vektorn som erhållits ovan . Sedan finns det fem oberoende bevarade kvantiteter, eller rörelseintegraler . Detta överensstämmer med de sex initiala villkoren (partikelns initiala position och dess hastighet är trekomponentsvektorer) som bestämmer partikelns omloppsbana, eftersom den initiala tiden inte definieras av rörelseintegralerna. Eftersom storleken (och excentriciteten av omloppsbanan) kan bestämmas från den totala rörelsemängden och energin , hävdas det att endast riktningen bevaras oberoende. Dessutom måste vektorn vara vinkelrät - detta leder till ytterligare en konserverad kvantitet. $E$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\mathbf {A}$ $e$ $L$ $E$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$

Ett mekaniskt system med frihetsgrader kan ha maximalt med rörelseintegraler, eftersom det finns initiala förhållanden, och den initiala tiden inte kan bestämmas utifrån rörelseintegralerna. Ett system med mer än integraler av rörelse kallas superintegrerbart , och ett system med integraler kallas maximalt superintegrerbart [19] . Eftersom lösningen av Hamilton-Jacobi-ekvationen i ett koordinatsystem endast kan leda till rörelseintegraler, måste variablerna separeras för superintegrerbara system i mer än ett koordinatsystem [20] . Keplerproblemet är maximalt superintegrerbart eftersom det har tre frihetsgrader ( ) och fem oberoende rörelseintegraler; variablerna i Hamilton-Jacobis ekvation är separerade i sfäriska koordinater och paraboliska koordinater [21] som beskrivs nedan . Maximalt superintegrerbara system kan kvantiseras med endast kommuteringsrelationer , som visas nedan [22] . $d$ $2d-1$ $2d$ $d$ $2d-1$ $d$ $d=3$

Hamilton-Jacobis ekvation i paraboliska koordinater

Konstansen för Laplace-Runge-Lenz-vektorn kan härledas med hjälp av Hamilton-Jacobi-ekvationen i paraboliska koordinater , som definieras enligt följande $(\xi ,\;\eta )$

\xi=r+x,

\eta=rx,

var är radien i omloppsplanet $r$

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Den omvända transformationen av dessa koordinater kan skrivas som

x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta ),

y={\sqrt {\xi \eta )).

Separation av variabler i Hamilton-Jacobi-ekvationen i dessa koordinater ger två ekvivalenta ekvationer [21] [23]

2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,

2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,

var är integralen av rörelse . Genom att subtrahera dessa ekvationer och uttrycka i termer av de kartesiska koordinaterna för momentum och , kan det visas att det är ekvivalent med Laplace-Runge-Lenz vektorn $\beta$ $p_{x}$ $p_{y}$ $\beta$

\beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.

Denna Hamilton-Jacobi metod kan användas för att härleda den konserverade generaliserade Laplace-Runge-Lenz vektorn i närvaro av ett elektriskt fält [21] [24] $\mathcal{A}$ $\mathbf {E}$

{\mathcal {A}}={\mathbf {A}}+{\frac {mq}{2}}\left[({\mathbf {r}}\times {\mathbf {E}})\times { \mathbf{r}}\right],

var är laddningen av den cirkulerande partikeln. $q$

Alternativ formulering

Till skillnad från momentum och vinkelmomentum har Laplace-Runge-Lenz-vektorn ingen allmänt accepterad definition. Flera olika multiplikatorer och symboler används i vetenskaplig litteratur. Den mest allmänna definitionen ges ovan , men en annan definition uppstår efter att ha dividerat med en konstant för att erhålla en dimensionslös bevarad excentricitetsvektor ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{L}$ $mk$

{\mathbf {e}}={\frac {1}{mk}}({\mathbf {p}}\ gånger {\mathbf {L}})-{\mathbf {{\hat {r}}}} ={\frac {m}{k}}({\mathbf {v}}\times {\mathbf {r}}\times {\mathbf {v}})-{\mathbf {{\hat {r}} }},

var är hastighetsvektorn. Riktningen för denna skalade vektor är densamma som , och dess amplitud är lika med omloppsbanans excentricitet . Vi får olika definitioner om vi dividerar med , $\mathbf{v}$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $m$

{\mathbf {M}}={\mathbf {v}}\ gånger {\mathbf {L}}-k{\mathbf {{\hat {r}}}}

eller vid $p_{0}$

{\mathbf {D}}={\frac {{\mathbf {A}}}{p_{0}}}={\frac {1}{{\sqrt {2m|E|}}}}\{{ \mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}}\},

som har samma dimension som rörelsemängden (vektor ). I sällsynta fall kan tecknet för Laplace-Runge-Lenz-vektorn vändas. Andra vanliga symboler för Laplace-Runge-Lenz-vektorn inkluderar , , , och . Men valet av multiplikator och symbol för Laplace-Runge-Lenz-vektorn påverkar naturligtvis inte dess bevarande. $\mathbf{L}$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {J}}$ ${\mathbf {V}}$

Alternativ konserverad vektor: binormal - vektor studerad av William Hamilton [10] $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}={\mathbf {p}}-\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)({\mathbf {L}}\times {\mathbf {r}}),

som är bevarad och pekar längs ellipsens semi-mollaxel. Laplace-Runge-Lenz-vektorn är en vektorprodukt av och (Fig. 3). Vektorn är märkt som en binormal eftersom den är vinkelrät mot både , och . Liksom Laplace-Runge-Lenz-vektorn kan den binormala vektorn definieras med olika faktorer. ${\mathbf {A}}={\mathbf {B}}\ gånger {\mathbf {L}}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{L}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$

Två konserverade vektorer och kan kombineras till en konserverad tvåelementstensor $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {W}}$

{\mathbf {W}}=\alpha {\mathbf {A}}\otimes {\mathbf {A}}+\beta {\mathbf {B}}\otimes {\mathbf {B}},

där betecknar tensorprodukten , och och är godtyckliga faktorer [11] . Skriven i komponentnotation lyder denna ekvation enligt följande $\ ibland$ $\alfa$ $\beta$

W_{{ij}}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.

Vektorerna och är ortogonala mot varandra, och kan representeras som huvudaxlarna för en bevarad tensor , det vill säga som dess egenvektorer . vinkelrät $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {W}}$ ${\mathbf {W}}$ $\mathbf{L}$

{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {W}}=\alpha ({\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}){\mathbf {A}}+\beta ({\ mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}=0,

eftersom och är vinkelräta, då . $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}=0$

Härledning av Keplers banor

Formen och orienteringen av omloppsbanan i Kepler-problemet , med kännedom om Laplace-Runge-Lenz-vektorn , kan bestämmas enligt följande. Betrakta skalärprodukten av vektorerna och (planetens position): $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {r}}=Ar\cos \theta ={\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}) -mkr,

var är vinkeln mellan och (Fig. 4). Låt oss ändra ordningen på faktorerna i den blandade produkten , och med hjälp av enkla transformationer får vi definitionen för koniska sektionen : $\theta$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\mathbf {L}}\cdot ({\mathbf {r}}\times {\mathbf {p)))={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}=L^{2}$

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)

med excentricitet ges av formeln: $e$

e={\frac {A}{mk}}={\frac {|{\mathbf {A}}|}{mk}}.

Vi kommer fram till uttrycket för kvadratmodulen för en vektor i formen $\mathbf {A}$

A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},

som kan skrivas om med hjälp av orbital excentricitet

e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.

Således, om energin är negativ, vilket motsvarar kopplade banor, är excentriciteten mindre än en och banan är elliptisk till formen . Omvänt, om energin är positiv (okopplade banor, även kallade spridningsbanor ), är excentriciteten större än en och banan är en hyperbel . Slutligen, om energin är exakt noll, är excentriciteten en, och omloppsbanan är en parabel . I alla fall är vektorn riktad längs koniska sektionens symmetriaxel och pekar mot punkten för punktpartikelns närmaste position från origo ( periapsis ). $\mathbf {A}$

Bevarande under en kraft omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet

Den kraft som verkar på partikeln antas vara central . Det är därför $\mathbf {F}$

{\mathbf {F}}={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}=f(r){\frac {{\mathbf {r}}}{r}}=f(r) ){\mathbf {{\hat {r))))

för någon radiefunktion . Eftersom rörelsemängden bevaras under inverkan av centrala krafter, alltså $f(r)$ $r$ ${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\ gånger {\mathbf {p}}$ ${\frac {d}{dt}}{\mathbf {L}}=0$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}\times {\ mathbf {L}}=f(r){\mathbf {{\hat {r}}}}\times \left({\mathbf {r}}\times m{\frac {d{\mathbf {r}} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[{\mathbf {r}}\left({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d {\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right],

där rörelsemängden skrivs som , och dubbelvektorprodukten förenklas med hjälp av Lagrange-formeln ${\mathbf {p}}=m{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}$

{\mathbf {r}}\times \left({\mathbf {r}}\times {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)={\mathbf {r}}\ vänster({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}} {dt}}.

Identitet

{\frac {d}{dt))({\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {r}})=2{\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}

leder till ekvationen

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\ gånger {\mathbf {L}})=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r )){\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}} \right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right).

För specialfallet med en central kraft som är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet , är det sista uttrycket $f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}}).

Sedan sparat i detta fall $\mathbf {A}$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {A}}={\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}})=0.

Som visas nedan , är Laplace-Runge-Lenz vektorn ett specialfall av den generaliserade konserverade vektorn , som kan definieras för vilken central kraft som helst [11] [12] . De flesta centrala krafter bildar dock inte slutna banor (se Bertrands sats ), en liknande vektor har sällan en enkel definition och är i allmänhet en flervärdig funktion av vinkeln mellan och . $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$ $\theta$ $\mathbf {r}$ $\mathcal{A}$

Förändring under inverkan av störande centrala krafter

I många praktiska problem, såsom planetarisk rörelse, är interaktionen mellan två kroppar endast ungefär omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet. I sådana fall är Laplace-Runge-Lenz-vektorn inte konstant. Men om den störande potentialen endast beror på avståndet, så bevaras den totala energin och rörelsemängdsvektorn . Därför är rörelsebanan fortfarande vinkelrät mot planet, och värdet bevaras enligt ekvationen . Därför kretsar riktningen långsamt i planet. Med hjälp av den kanoniska störningsteorin och aktionsvinkelkoordinaterna kan man direkt visa [2] att den roterar med hastigheten $\mathbf {A}$ $h(r)$ $E$ $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$ $A$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\ int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L))\left\{{\frac {m}{L^{ 2}}}\int \limits _{0}^{{2\pi }}r^{2}h(r)\,d\theta \right\},

var är perioden för omloppsrörelsen och ekvationen användes för att omvandla integralen över tiden till en integral över vinkeln (fig. 5). Till exempel, med hänsyn till effekterna av den allmänna relativitetsteorin , kommer vi fram till ett tillägg, som, till skillnad från den vanliga Newtonska gravitationskraften, beror omvänt på avståndets kub [25] : $T$ $L\,dt=mr^{2}\,d\theta$

h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\vänster({\frac {1}{r^{3}}}\höger).

Ersätter denna funktion i integralen och använder ekvationen

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),

för att uttrycka i termer av , periapsisprecessionshastigheten , orsakad av denna störning, skrivs som [25] $r$ $\theta$

{\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.

som i värde är nära storleken på precessionen för Merkurius oförklarad av Newtons gravitationsteorin [26] . Detta uttryck används för att uppskatta precessionen förknippad med korrigeringar av den allmänna relativitetsteorin för binära pulsarer [27] . Denna överensstämmelse med experiment är ett starkt argument till förmån för allmän relativitetsteori [28] .

Gruppteori

Noethers teorem

Noethers teorem säger att den oändliga variationen av de generaliserade koordinaterna för ett fysiskt system

\delta q_{i}=\varepsilon g_{i}({\mathbf {q)),\;{\mathbf {{\dot {q)))),\;t)

gör att Lagrange-funktionen ändras i första ordningen med värdet av den totala tidsderivatan

\delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,

vilket motsvarar bevarandet av kvantiteten

J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.

Denna komponent i Laplace-Runge-Lenz vektorn motsvarar variationen av koordinaterna [29] $Som$

\delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{ är}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],

där är 1, 2 och 3, och och är de e komponenterna i positions- respektive hastighetsvektorerna . Lagrangefunktionen för ett givet system $i$ $x_{i}$ ${\dot {x}}_{i}$ $i$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {\dot {r}}$

L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}.

Den resulterande förändringen i den första ordningen av litenhet för Lagrange-funktionen skrivs som

\delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

Detta gör att komponenten sparas $Som$

A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\ vänster({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right] _{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\höger).

Lees förvandling

Det finns en annan metod för att härleda bevarandet av Laplace-Runge-Lenz-vektorn genom att använda variationen av koordinater utan att involvera hastigheter [30] . Skalning av koordinater och tid med olika grader av parametern (Fig. 6) $\mathbf {r}$ $t$ $\lambda$

t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1} {\lambda }}\mathbf {p}

ändrar den totala rörelsemängden och energin : $L$ $E$

L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2))}E

— men behåller produkten . Det följer att excentriciteten och magnituden är bevarade i den tidigare nämnda ekvationen $EL^{2}$ $e$ $A$

A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.

Riktningen bevaras också eftersom halvaxlarna inte ändras vid skalning. Denna omvandling lämnar Keplers tredje lag sann , nämligen att halvaxeln och perioden bildar en konstant . $\mathbf {A}$ $a$ $T$ $T^{2}/a^{3}$

Poisson-parenteser

För de tre komponenterna i vinkelmomentvektorn kan Poisson-parenteser definieras $L_i$ $\mathbf{L}$

[L_{i},\;L_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},

där indexet löper genom värdena 1, 2, 3 och är en absolut antisymmetrisk tensor , det vill säga Levi-Civita-symbolen (det tredje summeringsindexet , inte att förväxla med kraftparametern definierad ovan ). Hakparenteser (snarare än lockiga) används som Poisson-parenteser, som i litteraturen och bland annat för att tolka dem som kvantmekaniska kommuteringsrelationer i nästa avsnitt . $i$ $\varepsilon_{{ijs}}$ $s$ $k$

Som visas ovan kan den modifierade Laplace-Runge-Lenz vektorn bestämmas med samma dimension som rörelsemängden genom att dividera med . Poisson-parentesen med vinkelmomentvektorn kommer att skrivas i en liknande form $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $p_{0}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

[D_{i},\;L_{{j}}]=\summa _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}D_{s}.

Poisson-parentesen c beror på tecknet på , det vill säga när den totala energin är negativ (elliptiska banor under verkan av en central kraft som beror omvänt på kvadraten på avståndet) eller positiv (hyperboliska banor). För negativa energier tar Poisson-parenteserna formen $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $E$ $E$

[D_{i},\;D_{j}]=-\summa _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

Medan för positiva energier har Poisson-parenteserna motsatt tecken

[D_{i},\;D_{j}]=\sum _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

Casimir-invarianterna för negativa energier definieras av följande relationer

C_{1}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {D}}+{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}={\frac {mk^{2}}{ 2|E|}},

C_{2}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {L}}=0

och vi har noll Poisson-fästen för alla komponenter och $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

[C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\; D_{i}]=0.

$C_{2}$ är noll, på grund av vektorernas ortogonalitet. Den andra invarianten är dock icke-trivial och beror endast på , och . Denna invariant kan användas för att härleda spektrumet av väteatomen , genom att endast använda den kvantmekaniska kanoniska kommutationsrelationen, istället för den mer komplexa Schrödinger-ekvationen . $C_{1}$ $m$ $k$ $E$

Bevarandelagar och symmetri

Variationen av koordinaten leder till bevarandet av längden på Laplace-Runge-Lenz-vektorn (se Noethers sats ). Detta bevarande kan ses som en viss symmetri av systemet. Inom klassisk mekanik är symmetrier kontinuerliga operationer som kartlägger en bana till en annan utan att ändra systemets energi; inom kvantmekaniken är symmetrier kontinuerliga operationer som blandar atomära orbitaler utan att ändra den totala energin. Till exempel, vilken central kraft som helst som leder till bevarande av rörelsemängd . Inom fysiken möter man vanligtvis konservativa centrala krafter som har rotationsgruppen SO(3) symmetri . Klassiskt sett påverkar systemets totala rotation inte banans energi; kvantmekaniskt blandar rotationer sfäriska funktioner med samma kvantnummer (degenererade tillstånd) utan att förändra energin. $\mathbf{L}$ $l$

Symmetrin stiger för den centrala kraften omvänt mot kvadraten på avståndet. Keplerproblemets specifika symmetri leder till bevarandet av både vinkelmomentvektorn och Laplace-Runge-Lenz-vektorn (enligt definitionen ovan ), och garanterar kvantmekaniskt att väteatomens energinivåer är oberoende av kvantumet. antal rörelsemängd och . Symmetrin är mer subtil eftersom symmetrioperationen måste ske i ett högre dimensionellt utrymme; sådana symmetrier kallas ofta dolda symmetrier [30] . Klassiskt tillåter den högre symmetrin i Keplers problem kontinuerliga förändringar i banor som sparar energi men inte rörelsemängd; med andra ord kan banor med samma energi men olika rörelsemängd (excentricitet) omvandlas kontinuerligt till varandra. Kvantmekaniskt motsvarar detta blandningen av orbitaler som skiljer sig i kvantantal och , atomorbitaler av typen ( ) och ( ). Sådan blandning kan inte göras med normala 3D-translationer eller rotationer, men är likvärdig med rotation i högre dimensionellt utrymme. $\mathbf{L}$ $\mathbf {A}$ $l$ $m$ $l$ $m$ $s$ $l=0$ $sid$ $l=1$

Ett kopplat system med en negativ total energi har SO(4) symmetri , vilket bevarar längden på fyrdimensionella vektorer

|{\mathbf {e}}|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.

1935 visade Vladimir Fok att Keplers kvantmekaniska problem är likvärdigt med problemet med en fri partikel som begränsas av en fyrdimensionell hypersfär [7] . Speciellt visade Fock att Schrödinger-ekvationens vågfunktion i momentumrummet för Keplerproblemet är en fyrdimensionell generalisering av den stereografiska projektionen av sfäriska funktioner från en 3-sfär till ett tredimensionellt rum. Hypersfärens rotation och omprojektion resulterar i en kontinuerlig transformation av de elliptiska banorna utan att energin förändras; kvantmekaniskt motsvarar detta att blanda alla orbitaler med samma huvudsakliga kvantnummer . Valentin Bargman noterade senare att Poisson-parenteserna för vinkelmomentvektorn och den skalade Laplace-Runge-Lenz-vektorn bildar Lie-algebra för . [8] Enkelt uttryckt motsvarar dessa sex kvantiteter de sex bevarade vinkelmomenten i fyra dimensioner associerade med de sex möjliga enkla rotationerna i detta utrymme (det finns sex sätt att välja två av de fyra axlarna). Denna slutsats innebär inte att vårt universum är en fyrdimensionell hypersfär ; det betyder helt enkelt att detta speciella problem i fysiken ( tvåkroppsproblemet för en central kraft som beror omvänt på kvadraten på avståndet) är matematiskt ekvivalent med en fri partikel på en fyrdimensionell hypersfär. $n$ $\mathbf{L}$ $\mathbf {D}$ $SO(4)$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

Ett spritt system med en positiv total energi har SO(3,1) symmetri , vilket bevarar längden på en 4-vektor i ett utrymme med Minkowski-metriken

ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.

Fock [7] och Bargman [8] betraktade både negativa och positiva energier. De har också ansetts encyklopediskt av Bender och Itsikson [31] [32] .

Symmetri av rotationer i fyrdimensionell rymd

Sambandet mellan Keplerproblemet och rotationer i det fyrdimensionella rummet SO(4) kan enkelt visualiseras [31] [33] [34] . Låt de kartesiska koordinaterna i det fyrdimensionella rummet ges , som betecknas med , Där de representerar de kartesiska koordinaterna för den vanliga positionen för den tredimensionella vektorn . 3D-momentvektorn är relaterad till 4D-vektorn på 4D-enhetssfären genom $(W x y z)$ $(x,\;y,\;z)$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {p}}$ ${\boldsymbol {\eta ))$

{\boldsymbol \eta }={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {{\hat {w))))+{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {p}}={\frac {mk-rpp_{0 }}{mk}}{\mathbf {{\hat {w}}}}+{\frac {rp_{0}}{mk}}{\mathbf {p}},

var är enhetsvektorn längs den nya axeln . Eftersom den bara har tre oberoende komponenter kan denna vektor inverteras genom att erhålla ett uttryck för . Till exempel för en komponent ${\mathbf {{\hat {w))))$ $w$ ${\boldsymbol {\eta ))$ ${\mathbf {p}}$ $x$

p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}

och liknande för och . Med andra ord är en tredimensionell vektor en stereografisk projektion av en fyrdimensionell vektor multiplicerad med (fig. 8). $p_{y}$ $p_{z}$ ${\mathbf {p}}$ ${\boldsymbol {\eta ))$ $p_{0}$

Utan förlust av generalitet kan vi eliminera den normala rotationssymmetrin genom att välja kartesiska koordinater , där axeln är riktad längs vinkelmomentvektorn och momentumhodografen är placerad som visas i figur 7, med cirkelcentrum på axeln . Eftersom rörelsen sker i ett plan, och och är ortogonala, kan , och uppmärksamheten fokuseras på en tredimensionell vektor . Familjen av Apollonius-cirklar av impulshodografer (fig. 7) motsvarar en uppsättning storcirklar på den tredimensionella sfären , som alla skär axeln vid dessa två brännpunkter som motsvarar impulshodografens foci vid . Stora cirklar förbinds genom enkel rotation runt axeln (fig. 8). Denna rotationssymmetri omvandlar alla banor med samma energi till varandra; emellertid är en sådan rotation ortogonal mot vanliga tredimensionella rotationer, eftersom den transformerar den fjärde dimensionen . Denna högre symmetri är karakteristisk för Kepler-problemet och motsvarar bevarandet av Laplace-Runge-Lenz-vektorn. $z$ $\mathbf{L}$ $y$ ${\mathbf {p}}$ $L$ $p_{z}=\eta _{z}=0$ ${\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})$ ${\boldsymbol {\eta ))$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}=\pm 1$ $p_{x}=\pm p_{0}$ $\eta _{x}$ $\eta _{w}$

En elegant lösning på Kepler-problemet med hjälp av vinkelverkansvariabler kan erhållas genom att bli av med den redundanta fyrdimensionella koordinaten och använda elliptiska cylindriska koordinater [35] ${\boldsymbol {\eta ))$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )$

\eta _{w}={\mathrm {cn}}\,\alpha \,{\mathrm {cn}}\,\beta ,

\eta _{x}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \cos \varphi ,

\eta _{y}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \sin \varphi ,

\eta _{z}={\mathrm {dn}}\,\alpha \,{\mathrm {sn}}\,\beta ,

där Jacobis elliptiska funktioner används : , och . ${\mathrm {sn}}$ ${\mathrm {cn))$ ${\mathrm {dn}}$

Applikationer och generaliseringar

Kvantmekaniken för väteatomen

Poisson-fästen ger ett enkelt sätt att kvantisera ett klassiskt system . Kommutatorn för två kvantmekaniska operatorer är lika med Poisson-parentesen för motsvarande klassiska variabler multiplicerat med [36] . Genom att utföra denna kvantisering och beräkna egenvärdena för Casimir-operatorn för Kepler-problemet härledde Wolfgang Pauli energispektrumet för den väteliknande atomen (Fig. 9) och därmed dess atomära emissionsspektrum [3] . Denna eleganta lösning erhölls innan Schrödinger-ekvationen erhölls [37] . $i\hbar$ $C_{1}$

En egenskap hos den kvantmekaniska operatorn för Laplace-Runge-Lenz vektorn är att momentum- och vinkelmomentoperatorerna inte pendlar med varandra, därför måste vektorprodukten definieras noggrant [38] . Operatörer i det kartesiska koordinatsystemet definieras som regel med hjälp av den symmetriska produkten $\mathbf {A}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{L}$ $Som$

A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j= 1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j}),

varifrån motsvarande stegoperatörer bestäms

A_{0}=A_{3},

A_{{\pm 1}}=\mp {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(A_{1}\pm iA_{2}).

Den normaliserade operatorn för den första Casimir-invarianten kan definieras på liknande sätt

C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{{-1}}-I,

där är operatören omvänd till energioperatören ( Hamiltonian ) och är identitetsoperatören. Genom att tillämpa dessa stegoperatorer på egentillstånden för det totala vinkelmomentet, det azimutala vinkelmomentet och energioperatorerna, kan man visa att egentillstånden för den första Casimir-operatorn ges av . Därför är energinivåerna givna av $H^{{-1}}$ $jag$ $|lmn\rangle$ $n^{2}-1$

E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},

som är identisk med Rydbergs formel för väteatomen (fig. 9).

Generalisering till andra potentialer och SRT

Laplace-Runge-Lenz-vektorn har generaliserats till andra potentialer och till och med till speciell relativitet . Den mest allmänna formen av denna vektor kan skrivas som [11]

{\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+\left [\xi -u\left({\frac {\partial \xi}{\partial u}}\right)\right]L^{2}{\mathbf {{\hat {r))))

där (se Bertrands sats ) och , med vinkeln definierad som $u=1/r$ $\xi =\cos \theta$ $\theta$

\theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u ^{2}}}}}.

Här är den relativistiska faktorn . Som tidigare kan man erhålla den konserverade binormala vektorn genom att ta korsprodukten med den konserverade vinkelmomentvektorn $\gamma$ $\mathbf {B}$

{\mathcal {B}}={\mathbf {L}}\ gånger {\mathcal {A}}.

Dessa två vektorer kan kombineras till en konserverad tvåkomponenttensor $W$

{\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.

Som ett exempel beräknar vi Laplace-Runge-Lenz-vektorn för en icke-relativistisk isotropisk harmonisk oscillator. [11] Tänk på den centrala kraften:

{\mathbf {F}}(r)=-k{\mathbf {r}}

rörelsemängdsvektorn bevaras , och därför sker rörelsen i ett plan. Den bevarade tensorn kan skrivas om i en enklare form:

{\mathbf {W}}={\frac {1}{2m}}{\mathbf {p}}\otimes {\mathbf {p}}+{\frac {k}{2}}{\mathbf {r }}\ibland {\mathbf {r}},

även om det bör noteras att och inte är vinkelräta, precis som . Motsvarande Laplace-Runge-Lenz-vektor har en mer komplex notation $sid$ $r$ $A$ $B$

{\mathbf {A}}={\frac {1}{{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2))))}\{ ({\mathbf {p}}\ gånger {\mathbf {L}})+(mr\omega _{0}A-mrE){\mathbf {{\hat {r}}}}\},

var är oscillatorns frekvens. $\omega _{0}={\sqrt {{\frac {k}{m))))$

Se även

Litteratur

↑ Arnold V. I. . Klassisk mekaniks matematiska metoder. 5:e uppl. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. — ISBN 5-354-00341-5 . ; online i elektronisk form är 3:e upplagan. 1988, se bilaga 8, sid 381
↑ 1 2 3 4 Goldstein G. . Klassisk mekanik. 2:a uppl. — M .: Nauka, 1975. — 415 sid.
↑ 1 2 3 Pauli, W. Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (tyska) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1926. - Bd. 36 . - S. 336-363 .
↑ 1 2 Hamilton, W. R. The Hodograph, eller en ny metod för att uttrycka i symboliskt språk Newtonian Law of Attraction // Proceedings of the Royal Irish Academy : journal. - 1847. - Vol. 3 . - s. 344-353 .
↑ Hickok F. A. . Sjökort för rymdflyg. - M . : Mashinostroenie, 1968. - 133 sid. - Ch. 3. Bananalys med polära diagram, sid. 42.
↑ Gould H., Tobochnik Ya. Datormodellering i fysik. T. 1. - M . : Mir, 1990. - 352 sid. — ISBN 5-03-001593-0 . . — Uppgift 4.9. Egenskaper för banor i hastigheternas rymd, sid. 88.
↑ 1 2 3 Fock, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms (tyska) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1935. - Bd. 98 . - S. 145-154 .
↑ 1 2 3 Bargmann, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock (tyska) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1936. - Bd. 99 . - S. 576-582 .
↑ 1 2 Goldstein, H. Förhistoria av Runge-Lenz vektorn // American Journal of Physics : journal. - 1975. - Vol. 43 . - s. 735-738 .
Goldstein, H. Mer om Runge-Lenz-vektorns förhistoria // American Journal of Physics : journal. - 1976. - Vol. 44 . - s. 1123-1124 .
↑ 1 2 3 Hamilton, W. R. On the Application of the Method of Quaternions på några dynamiska frågor // Proceedings of the Royal Irish Academy : journal. - 1847. - Vol. 3 . - P. Bilaga III, s. xxxvi-l .
↑ 1 2 3 4 5 Fradkin, D. M. Existensen av de dynamiska symmetrierna O 4 och SU 3 för alla klassiska centrala potentiella problem // Teoretisk fysiks framsteg : journal. - 1967. - Vol. 37 . - s. 798-812 .
↑ 1 2 Yoshida, T. Två metoder för generalisering av Laplace-Runge-Lenz-vektorn // European Journal of Physics : journal. - 1987. - Vol. 8 . - S. 258-259 .
↑ Hermann, J. Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti // Giornale de Letterati D'Italia. - 1710. - T. 2 . - S. 447-467 .
Hermann, J. Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 (fr.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) : tidskrift. - 1710. - Vol. 1732 . - s. 519-521 .
↑ Bernoulli, J. Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 (fr.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Paris): tidskrift. - 1710. - Vol. 1732 . - s. 521-544 .
↑ Laplace P.S. Traite de mecanique celeste. Tome I, Premiärfest, Livre II. - Paris, 1799. - S. 165ff.
↑ Gibbs J. W. , Gibbs E. B. . Vektoranalys. - New York: Scribners, 1901. - 436 sid. — S. 135.
↑ Runge C. . vektoranalys. bd. I. - Leipzig: Hirzel, 1919. - 436 sid.
↑ Lenz, W. Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung (tyska) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1924. - Bd. 24 . - S. 197-207 .
↑ Evans, N. W. Superintegrerbarhet i klassisk mekanik // Physical Review A : journal . - 1990. - Vol. 41 . - P. 5666-5676 .
↑ Sommerfeld A. . Atomstruktur och spektrallinjer. — London: Methuen, 1923. — 118 sid.
↑ 1 2 3 Landau LD , Lifshitz EM . mekanik. 3:e uppl. - Pergamon Press, 1976. - ISBN 0-08-029141-4 . . — S. 154; Landau L. D. , Lifshitz E. M. . Mekanik. 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2004. - 224 sid. — (Kurs i teoretisk fysik, volym 1). - ISBN 5-9221-0055-6 . — § 15. Keplerproblem, "konserverad vektor", sid. 56; § 52. Villkorligt periodisk rörelse, ett problem med en lösning i polära koordinater, sid. 217.
↑ Evans, N. W. Gruppteori för Smorodinsky-Winternitz-systemet // Journal of Mathematical Physics : journal. - 1991. - Vol. 32 . - P. 3369-3375 .
↑ Dulock, V. A.; McIntosh H. V. On the Degeneracy of the Kepler Problem // Pacific Journal of Mathematics : journal. - 1966. - Vol. 19 . - S. 39-55 .
↑ Redmond, P. J. Generalisering av Runge-Lenz-vektorn i närvaro av ett elektriskt fält // Fysisk översyn : journal . - 1964. - Vol. 133 . - P.B1352-B1353 .
↑ 1 2 Einstein, A. Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie (tyska) // Sitzungsberichte der der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften: magazin. - 1915. - Bd. 47 , nr. 2 . - S. 831-839 .
↑ Le Verrier, U. J. J. Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye (fr.) // Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris): tidskrift. - 1859. - Vol. 49 . - s. 379-383 . [ett]
↑ Kommer C. M. . General Relativity, en Einstein Century Survey / Ed. av S. W. Hawking och W. Israel. — Cambridge: Cambridge University Press, 1979.
↑ Pais, A.. Subtil är Herren: The Science and the Life of Albert Einstein (engelska). —Oxford University Press, 1982.
Pais, Abraham. . Albert Einsteins vetenskapliga verksamhet och liv / Ed. A.A. Logunova. —M.: Nauka, 1989. — 566 sid. —ISBN 5-02-014028-7. .
↑ Lévy-Leblond, JM (1971). "Bevarandelagar för spårinvarianta lagrangier i klassisk mekanik." American Journal of Physics . 39 (5): 502-506. Bibcode : 1971AmJPh..39..502L . DOI : 10.1119/1.1986202 .
↑ 1 2 Prince, G. E.; Eliezer C. J. On the Lie symmetries of the classical Kepler problem // Journal of Physics A: Mathematical and General : journal. - 1981. - Vol. 14 . - s. 587-596 .
↑ 1 2 Bander, M.; Itzykson C. Group Theory and the Hydrogen Atom (I ) // Recensioner av modern fysik : tidskrift. - 1966. - Vol. 38 . - S. 330-345 .
↑ Bander, M.; Itzykson C. Group Theory and the Hydrogen Atom (II ) // Recensioner av modern fysik : tidskrift. - 1966. - Vol. 38 . - s. 346-358 .
↑ Rogers, H. H. Symmetriomvandlingar av det klassiska Keplerproblemet // Journal of Mathematical Physics : journal. - 1973. - Vol. 14 . - P. 1125-1129 .
↑ Guillemin, V.; Sternberg S. Variationer över ett tema av Kepler. - American Mathematical Society Colloquium Publications, volym 42, 1990. .
↑ Lakshmanan, M.; Hasegawa H. Om Keplerproblemets kanoniska ekvivalens i koordinat- och momentumrum (engelska) // Journal of Physics A : journal. — Vol. 17 . - P.L889-L893 .
↑ Dirac P.A.M. Principer för kvantmekanik. 4:e upplagan (engelska) . — Oxford University Press, 1958.
↑ Schrödinger, E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Annalen der Physik . - 1926. - T. 384 . - S. 361-376 .
↑ Bohm A. . Kvantmekanik: grunder och tillämpningar. 2:a upplagan. - Springer Verlag, 1986. - S. 208-222.

Länkar

Leach, PGL; GP Flessas. Generaliseringar av Laplace - Runge - Lenz vektor // J. Nolinjär matematik. Phys. : journal. - 2003. - Vol. 10 . - s. 340-423 . Artikeln ägnas åt generaliseringen av Laplace-Runge-Lenz-vektorn till andra potentialer än Coulomb. archive.org