Andra kvantiseringen

Sekundär kvantisering ( kanonisk kvantisering ) [1] är en metod för att beskriva kvantmekaniska system med många partiklar. Denna metod används oftast för problem inom kvantfältteorin och i många partikelproblem inom den kondenserade materiens fysik .

Beskrivning

Låt oss anta att det finns en klassificering av alla möjliga tillstånd för varje partikel eller kvasipartikel i det aktuella systemet. Låt oss beteckna partikelns tillstånd som . Sedan beskrivs alla möjliga tillstånd i systemet av en uppsättning partikelnummer (beläggningsnummer) i vart och ett av dessa tillstånd . Kärnan i den andra kvantiseringsmetoden är att istället för vågfunktionerna för partiklar i koordinat- eller momentumrepresentationen, introduceras vågfunktioner i representationen av ockupationsnumren för olika tillstånd av en partikel. Fördelen med den andra kvantiseringsmetoden är att den tillåter en enhetlig beskrivning av system med olika antal partiklar, både med en finit fixerad (i problem med kondenserad materiens fysik) och med en variabel, potentiellt oändlig (i problem med QFT ). Övergångar mellan olika tillstånd (till exempel från tillstånd till tillstånd ) för en partikel beskrivs som en minskning av ockupationstalet motsvarande en vågfunktion per enhet och en ökning av ockupationstalet för ett annat tillstånd per enhet . Sannolikheterna för dessa processer beror inte bara på den elementära övergångssannolikheten, utan också på antalet yrkesgrupper som är involverade i staternas process. $1,2,3,...$ $(N_{1},N_{2},N_{3},...)$ $k$ $q$ $(N_{k}\Rightarrow N_{k}-1)$ $(N_{q}\Rightarrow N_{q}+1)$

Bose-Einstein statistik

För partiklar som lyder Bose-Einsteins statistik är sannolikheten för övergång från tillstånd till tillstånd , där är den elementära sannolikheten beräknad med standardmetoder för kvantmekanik. Operatörer som ändrar ockupationsnumret för tillstånd med en fungerar på samma sätt som skapande och förintelseoperatorer i det endimensionella harmoniska oscillatorproblemet : $k$ $q$ $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(N_{q}+1)$ $w(k,q)$

[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dolk }]=\delta _{ij},\ [{\hat {a}} _{i},{\hat {a}}_{j}]=0,

där hakparenteserna anger kommutatorn och är Kronecker-symbolen . $\delta _{{ij}}$

Födelseoperatorn är per definition en matris med ett enda element som inte är noll: [2]

{\displaystyle \left\langle N_{i}|a_{i}^{\dolk }|N_{i}-1\right\rangle =\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_ {i}\right\rangle ^{*}={\sqrt {N_{i))))

Skapandeoperatorn kallas så eftersom den ökar antalet partiklar i det i:te tillståndet med 1: ${\hat {a}}_{i}^{\dolk }$

{\hat {a}}_{i}^{\dolk }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt { N_{i}+1}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}+1,...)

Destruktionsoperatorn är också en matris med ett enda element som inte är noll:

{\displaystyle \left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ={\sqrt {N_{i))))

Annihilationsoperatorn kallas så eftersom den minskar antalet partiklar i det i:te tillståndet med 1: ${\hat {a}}_{i}$

{\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}} }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}-1,...)

Fermi-Dirac statistik

För partiklar som lyder Fermi-Dirac-statistiken är sannolikheten för övergång från tillstånd till tillstånd , där är den elementära sannolikheten beräknad med standardmetoder för kvantmekanik, och kan bara ta värdena . För fermioner används andra operatorer som uppfyller antikommutationsrelationerna : $k$ $q$ $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(1-N_{q})$ $w(k,q)$ ${\displaystyle N_{k},N_{q))$ $0.1$

\left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dolk }\right\}={\hat {a}}_{i }{\hat {a}}_{j}^{\dolk }+{\hat {a}}_{j}^{\dolk }{\hat {a}}_{i}=\delta _{ ij},\ \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right\}=0.

Födelseoperatorn är per definition en matris med en enda post som inte är noll: [3]

\left\langle 1_{i}|a_{i}^{\dolk }|0_{i}\right\rangle =\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\ höger\rangle ^{*}=(-1)^{\summa _{k=1}^{i-1}N_{k))

Skapandeoperatorn kallas så eftersom den ökar antalet partiklar från 0 till 1 i det i:te tillståndet: ${\hat {a}}_{i}^{\dolk }$

{\hat {a}}_{i}^{\dolk }\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)=\Phi (N_ {1},N_{2},...,1_{i},...)

Destruktionsoperatorn är också en matris med ett enda element som inte är noll:

\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle =(-1)^{\summa _{k=1}^{i-1}N_{k} }

Annihilationsoperatorn kallas så eftersom den minskar antalet partiklar i det i:te tillståndet med 1: ${\hat {a}}_{i}$

{\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)=\Phi (N_{1},N_ {2},...,0_{i},...)

Applikationer

Problem med övergångarna av kvantpartiklar från olika tillstånd, laserfysik, teorin om Ramans spridning av ljus, fasta tillståndets fysik, teorin om turbulens i vätska, gas, plasma [4] .

Se även

Anteckningar

↑ Termen "andra kvantisering" anses vara föråldrad i den engelskspråkiga litteraturen och har nyligen ersatts av termen " kanonisk kvantisering ". Termen "kanonisk" betonar en viktig överensstämmelse mellan kvantoperatorerna och kommutatorerna inom kvantmekaniken, och den klassiska mekanikens kanoniska koordinater och momentum och Poisson-fäste .
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics. - M., Nauka, 1972. - sid. 167-168
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics. - M., Nauka, 1972. - sid. 172
↑ A. S. Kingsep, Secondary quantization, SOZH , vol. 7, nr 5, 2001

Litteratur

Berezin F. A. Andra kvantiseringsmetoden. - 2:a uppl., tillägg. — M .: Nauka, 1986. — 320 sid.
Bogolyubov N. N., Bogolyubov N. N. (Jr.). Introduktion till kvantstatistisk mekanik. - M. : Nauka, 1984. - 384 sid.
Nguyen Van Hieu. Grunderna i den andra kvantiseringsmetoden. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 208 sid.
Yu. A. Neretin. "Metod för andra kvantisering" Berezin. En titt 40 år senare .