Bose-Einstein statistik

Bose-Einstein-statistik är kvantstatistik som tillämpas på system av identiska bosoner (partiklar med noll- eller heltalsspinn ) , som inkluderar till exempel fotoner och helium-4- atomer . Bestämmer det genomsnittliga antalet bosoner i tillstånd med en given energi i ett system i termodynamisk jämvikt : $n_{i}$ $\varepsilon_i$

n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)-1}}

där är degenerationsmångfalden (antalet tillstånd för en partikel med energi ), är den kemiska potentialen , är Boltzmann-konstanten , är den absoluta temperaturen . Om , då kallas funktionen för antalet fyllningsnivåer av partiklar för Bose-Einstein-funktionen : $g_i$ $\varepsilon_i$ $\mu$ $k$ $T$ $g_i=1$

F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -\mu }{kT))\right)-1))

Föreslog 1924 av Shatyendranath Bose för att beskriva fotoner. Åren 1924-1925. Albert Einstein generaliserade det till system av atomer med heltalsspinn.

Egenskaper för Bose-Einstein-statistik

Bose-Einstein-funktionen har följande egenskaper:

dimensionslös;
definieras endast för energier som överstiger ; $\varepsilon$ $\mu$
tar verkliga värden i intervallet från 0 till ; $+\infty$
minskar med energi;
minskningen blir skarpare med sjunkande temperatur;
vid höga temperaturer och/eller låga koncentrationer av partiklar går in i Maxwell-Boltzmann statistik ;
i gränsen går in i Rayleigh-distributionen . $kT\gg \varepsilon -\mu$ $F=kT/(\varepsilon -\mu )$

Jämförelse med Fermi-Dirac statistik

Bose-Einstein-funktionen liknar Fermi-Dirac-funktionen , som används för att beskriva ett system av identiska fermioner - partiklar med ett halvt heltalsspinn, som följer Pauli-principen (ett kvanttillstånd kan inte upptas av mer än en partikel).

Skillnaden ligger i subtraktionen av enhet i nämnaren, medan det i Fermi-Dirac-formeln finns ett plustecken på denna plats. Som ett resultat är formen för de två statistikerna vid energier nära och under den kemiska potentialen väsentligt olika. Vid höga energier är dock båda statistiken nära och sammanfaller med den klassiska Maxwellska statistiken . $F(\varepsilon ,T)$ $\varepsilon$ $F=\exp[(\mu -\varepsilon )/kT]$

Matematisk och fysisk betydelse

Bose-Einstein-funktionen ställer in ockupationsnumren ( eng. occupancy factor ) för kvanttillstånd. Det kallas ofta en "fördelning", men ur sannolikhetsteorinapparatens synvinkel är det varken en fördelningsfunktion eller en fördelningstäthet . Det kan inte heller tolkas som en viss sannolikhet. $F(\varepsilon ,T)$

Funktionen ger information om beläggning av stater och säger inget om förekomsten av dessa stater. För system med diskreta energier ges uppsättningen av deras möjliga värden av listan , etc., och för system med ett kontinuerligt spektrum av energier kännetecknas tillstånd av en " täthet av tillstånd " (J -1 eller J - 1 m -3 ). $F(\varepsilon ,T)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\rho (\varepsilon )$

Tillämpning av Bose-Einstein-statistik

Statistiken från Fermi-Dirac och Bose-Einstein är föremål för system av identiska partiklar där kvanteffekter inte kan försummas. Kvanteffekter manifesterar sig vid partikelkoncentrationer , där är den så kallade kvantkoncentrationen , där medelavståndet mellan partiklar är lika med medelvärdet av de Broglie-vågen för en idealgas vid en given temperatur. Vid koncentration "berör" partiklarnas vågfunktioner varandra, men överlappar praktiskt taget inte varandra. ${\displaystyle (N/V)\geq n_{q))$ $n_q$ $n_q$

Villkoren för att tillämpa Bose-Einstein-statistik är svagheten i interpartikelinteraktionen i systemet (fallet med en idealisk kvantgas ) och temperaturen över degenerationstemperaturen .

Bose-Einstein-statistiken (liksom Fermi-Dirac-statistiken ) är relaterad till den kvantmekaniska principen om identiska partiklars omöjlighet att särskilja. Fermioner (partiklar för vilka Pauli-uteslutningsprincipen är giltig) följer Fermi-Dirac-statistiken och bosoner lyder Bose-Einstein-statistiken . Eftersom kvantkoncentrationen ökar med ökande temperatur, följer de flesta fysiska system vid höga temperaturer den klassiska Maxwell-Boltzmann-statistiken . Undantag är system med mycket hög densitet som vita dvärgar .

Bosoner, till skillnad från fermioner, följer inte Paulis uteslutningsprincip - ett godtyckligt antal partiklar kan samtidigt vara i samma tillstånd. På grund av detta är deras beteende mycket annorlunda än fermioners beteende vid låga temperaturer. När det gäller bosoner, när temperaturen sjunker, kommer alla partiklar att samlas i ett tillstånd med lägst energi och bilda det så kallade Bose-Einstein-kondensatet .

Slutsats och beskrivning

Hamiltonian för ett system av icke-interagerande partiklar är lika med summan av Hamiltonianerna för enskilda partiklar. Egenfunktionerna för systemets Hamiltonian representeras som produkten av egenfunktionerna hos Hamiltonianerna för individuella partiklar. Och egenvärdena för Hamiltonian (energi) i systemet är lika med summan av energierna (egenvärden för Hamiltonianerna) för individuella partiklar. Om det finns partiklar på en given energinivå är systemets energi en viktad summa , och systemets vågfunktion är produkten $\varepsilon_i$ $n_{i}$ $E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i$

\psi(r)=\psi(r_1,r_2,...,r_n)=\psi_{i_1}(r_1)\psi_{i_2}(r_2)...\psi_{i_n}(r_n)

var är vågfunktionen för energinivån . $\psi_{i_k}$ $\varepsilon_{i_k}$

Den allmänna formeln för sannolikheten för ett tillstånd i ett system med en given energinivå definieras enligt följande ( stor kanonisk ensemble ):

W(E)=e^{\frac {\Omega +\mu nE}{\Theta }}g(E),

var är degenerationsmångfalden för den givna energinivån. $g(E)$

För den ovan beskrivna vågfunktionen ändrar permutering av koordinaterna vågfunktionen, dvs permutering av koordinaterna skapar ett nytt mikrotillstånd. Det vill säga valet av en sådan vågfunktion innebär partiklars mikroskopiska urskiljbarhet. Makroskopiskt motsvarar de dock samma tillstånd. Därför, för en sådan vågfunktion, när man karakteriserar makrotillstånd, är det nödvändigt att dividera ovanstående formel med för att utesluta multipel hänsyn till samma makrotillstånd i den statistiska summan. $n!$

Det är dock nödvändigt att ta hänsyn till att, som bekant, en godtycklig linjär kombination av vågfunktioner också är en lösning på Schrödinger-ekvationen. På grund av partiklarnas identitet, det vill säga deras mikroskopiska oskiljbarhet, är det nödvändigt att välja en sådan linjär kombination så att permutationen av koordinater inte ändrar vågfunktionen, det vill säga

\psi =\sum _{P}P\psi ,

var är funktionen för permutation av partikelkoordinater. Dessutom, enligt Pauli-satsen för bosoner, är vågfunktionerna symmetriska, det vill säga att multiplicera med minusenhetskoordinater ändrar inte heller vågfunktionen. Sådana vågfunktioner beskriver därför icke-degenererade tillstånd . Dessutom elimineras ovanstående behov av division med , eftersom permutationer inte leder till nya mikrotillstånd för den valda vågfunktionen. Således är det äntligen möjligt att uttrycka sannolikheten för ett givet tillstånd enligt följande genom fyllningsnumren : $P$ $g(E)=1$ $n!$ $n_l$

W(n_{0},n_{1},...)=e^{\frac {\Omega +\sum _{l=0}^{\infty }n_{i}(\mu - \varepsilon _{i})}{\Theta )).

Härifrån kan det visas

\Omega =\Theta \sum _{i=0}^{\infty }\ln(1-e^{(\mu -\varepsilon _{i})/\Theta }).

Det genomsnittliga antalet partiklar i ett givet tillstånd kan uttryckas i termer av denna kvantitet som en partiell derivata (med motsatt tecken) av genom att konventionellt anta att de skiljer sig åt för varje . Sedan för det genomsnittliga antalet partiklar i ett givet tillstånd, enligt Bose-Einstein statistik, får vi $\mu _{i}$ $\mu$ $i$

{\overline {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1)),

där , är antalet partiklar i tillståndet , är tillståndets energi . $\varepsilon_i > \mu$ $n_{i}$ $i$ $\varepsilon_i$ $i$

Variationer och generaliseringar

Om parametern i den negativa binomialfördelningen är ett heltal, blir den senare fördelningen den generaliserade Bose-Einstein-fördelningen [1] . $r$
Om parametern är i den negativa binomialfördelningen blir den negativa binomialfördelningen den geometriska fördelningen . Den sista distributionen är Bose-Einstein-distributionen för en enda källa [1] . $r=1$

Se även

Litteratur

Bose-Einstein statistik // Bari-Bracelet. - M . : Soviet Encyclopedia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / chefredaktör A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 3).
Bose-Einstein statistik / A. G. Bashkirov // "Banquet Campaign" 1904 - Big Irgiz. - M .: Great Russian Encyclopedia, 2005. - S. 674. - ( Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / chefredaktör Yu. S. Osipov ; 2004-2017, v. 3). — ISBN 5-85270-331-1 .
Bose-Einstein distribution // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakh encyclopedias , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (ryska) (CC BY SA 3.0)

Länkar

↑ 1 2 Schopper H. (Ed.) // Elektron - Positron-interaktioner Arkiverad 10 maj 2021 på Wayback Machine . Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. s. 133

När du skriver den här artikeln, material från publikationen " Kazakstan. National Encyclopedia " (1998-2007), tillhandahållen av redaktörerna för "Kazakh Encyclopedia" under licensen Creative Commons BY-SA 3.0 Unported .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4146391-2