Täthet av stater

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 juni 2019; kontroller kräver 9 redigeringar .

Tillståndstätheten är en kvantitet som bestämmer antalet energinivåer i en enhetsenergiintervall per volymenhet i det tredimensionella fallet (per areaenhet i det tvådimensionella fallet). Det är en viktig parameter inom statistisk och fast tillståndsfysik . Termen kan appliceras på fotoner, elektroner, kvasipartiklar i ett fast ämne, etc. Det används endast för problem med en partikel, det vill säga för system där interaktion kan försummas (icke-interagerande partiklar) eller interaktion kan läggas till som en störning (detta kommer att leda till en modifiering av tätheten av tillstånd).

Definition

För att beräkna tillståndstätheten (antalet tillstånd i ett energiintervall) för en partikel, hittar vi först tätheten av tillstånd i det reciproka rummet (momentum eller -rymden). "Avståndet" mellan staterna bestäms av randvillkoren . För fria elektroner och fotoner i en region eller för elektroner i ett kristallgitter med en gitterstorlek använder vi Born-von Karmans periodiska randvillkor för vågfunktionen : . Med vågfunktionen för en fri partikel får vi relationerna $k$ ${\displaystyle 0<x<L_{x))$ ${\displaystyle L_{x))$ $\psi (x)=\psi (x+L_{x})$ $\psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ikx}$

2\pi N=kL_{x}\qquad {\frac {2\pi }{L_{x}}}=\Delta k

där är ett heltal och är avståndet mellan tillstånd med olika . Liknande samband gäller för andra kartesiska koordinater ( , ). $N$ $\Delta k$ $k$ $y$ $z$

Det totala antalet -tillstånd som är tillgängliga för en partikel är mängden -utrymme som är tillgängligt för den dividerat med mängden -utrymme som upptas av ett tillstånd. Den tillgängliga volymen är helt enkelt integralen från till . $k$ $k$ $k$ $0$ $k$

Volymen av -utrymme för ett tillstånd i det -dimensionella fallet kan skrivas som $k$ $n$

G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{ n}{{\mathbf {k}}}},

var är nivåns degeneration (vanligtvis är detta spindegenerationen lika med 2). Detta uttryck måste differentieras för att hitta densiteten av tillstånd i -rymden: . För att hitta densiteten av tillstånd i termer av energi behöver man känna till dispersionslagen för partikeln, det vill säga uttrycka och i termer av och . Till exempel , för en fri elektron: $g_s$ $k$ $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk))\,dk$ $k$ $dk$ $g(k)dk$ $E$ $dE$ $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$ $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

Relaterat till en mer allmän definition är relationen

D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})

(vanligtvis betyder de en enhetsvolym, men med den allmänna skrivformen läggs en multiplikator till ), där indexet motsvarar något tillstånd av det diskreta eller kontinuerliga spektrumet, och är en deltafunktion . När man går från summering till integration över dimensionernas fasutrymme bör man använda regeln $1/V$ $s$ $\delta$ $2n$

{\displaystyle \sum _{s}\högerpil \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n))))

där är Plancks konstant , är momentum, är rumsliga koordinater (om volymen är enhet, är denna integral utelämnad). $\hbar$ $sid$ $q$

Exempel

Tabellen innehåller uttryck för tätheten av tillstånd av elektroner med en parabolisk spridningslag :

	Tillgänglig volym	Volym för en stat	Täthet av stater
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {{\sqrt {2m^{3}}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z))}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\summa _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l} }}}$
$0D$			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\summa _{l}\delta (E-E_{l})$

där är storlekskvantiseringsunderbandsindexet, är Heaviside-funktionen . Formlerna beskriver fallet då kvantisering i en eller flera riktningar är förknippad med någon begränsande potential. $l$ $\Theta$

Alla formler för , angivna i kolumnen längst till höger, har dimensionen J -1 m -3 och strukturen "något uttryck dividerat med produkten av de linjära dimensionerna av kvantiseringsområdet" - det finns lika många av dessa dimensioner som rörelsen är begränsad längs koordinaterna. Om en sådan uppdelning inte görs (ta bort alla ) kommer den att förbli med dimensionen [ ] = J -1 m -3 , J -1 m -2 , J -1 m -1 respektive J -1 , för tvådimensionella (2D), endimensionella (1D) och nolldimensionella (0D) fall. "Tätheten av stater", beroende på sammanhanget, kan betyda inte bara , utan också . $D(E)$ $\rho (E)$ $L$ $\rho (E)$ $\rho$ $D(E)$ $\rho (E)$

Användning

Tillståndstätheten framgår av uttrycken för beräkning av koncentrationen av partiklar med deras kända energifördelning. För fermioner , som är elektroner, under jämviktsförhållanden motsvarar denna fördelning Fermi-Dirac-statistik och för bosoner , inklusive fotoner, Bose-Einstein-statistik .

Säg att koncentrationerna av elektroner ( hål ) i ledningsbandet ( valensbandet ) för en halvledare vid jämvikt beräknas som

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^ {E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE

var är Fermi-funktionen, ( ) är energin i botten av ledningsbandet ( toppen av valensbandet ). Som här bör formeln för ett objekt med lämplig dimension ersättas: för tjockleken på materialet (och då kommer koncentrationerna att vara i m -3 ), för kvantbrunnen (och då får vi koncentrationen i m - 2 ), för kvanttråden (vi får koncentrationen i m -1 ) eller (i fallet med en kvantprick får vi inte koncentrationen utan antalet partiklar). $F$ $E_{c}$ $E_{v}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{3D))$ $\rho _{2D}$ $\rho _{1D}$ $\rho _{0D}$

Externa länkar

Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Arkiverad 14 maj 2011 på Wayback Machine