Minskad massa

Den reducerade massan är en villkorlig egenskap för fördelningen av massor i ett rörligt mekaniskt eller blandat (till exempel elektromekaniskt) system, beroende på systemets fysiska parametrar (massor, tröghetsmoment , induktans , etc.) och på dess rörelselag [1] .

Vanligtvis bestäms den reducerade massan från likheten , där är systemets kinetiska energi , och är hastigheten för den punkt i systemet till vilken massan reduceras. I en mer allmän form är den reducerade massan tröghetskoefficienten i uttrycket för den kinetiska energin i ett system med stationära begränsningar , vars position bestäms av generaliserade koordinater : $\mu$ $T=\mu v^{2}\,/2$ $T$ $v$ $\mu _{{ij}}$ $n$ ${\displaystyle r_{i))$

2T=\sum _{i,\,j=1}^{n}\mu _{ij}\,{\dot {r_{i))}{\dot {r_{j))}\ ,,

där punkten betyder differentiering med avseende på tid, och är funktioner av generaliserade koordinater. $\mu _{ij}\$

Tvåkroppsproblem

I tvåkroppsproblemet , som uppstår till exempel i himlamekanik eller spridningsteori , framstår den reducerade massan som någon slags effektiv massa när tvåkroppsproblemet reduceras till två problem om en kropp. Betrakta två kroppar: en med massa och den andra med massa . I det ekvivalenta enkroppsproblemet betraktar man rörelsen hos en kropp med en reducerad massa lika med $m_{1}\$ $m_{2}\$

\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1 }+m_{2}}}\ ,

där kraften som verkar på denna massa ges av kraften som verkar mellan dessa två kroppar. Det kan ses att den reducerade massan är lika med hälften av det harmoniska medelvärdet av de två massorna.

Den reducerade massan är alltid mindre än var och en av massorna , eller eller lika med noll om en av massorna är lika med noll. Låt massan vara mycket mindre än massan ( ), då blir det ungefärliga uttrycket för den reducerade massan $m_{1}\$ $m_{2}\$ $m_{2}\$ $m_{1}$ $m_{2}\ll m_{1}$

\mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\approx m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{ 1))})\approx m_{\mathrm {2} }\ .

Newtonsk mekanik

Med hjälp av Newtons andra lag kan man finna att effekten av kropp 2 på kropp 1 ges av kraften

\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.

Kropp 1 påverkar kropp 2 genom kraft

\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.

I kraft av Newtons tredje lag är dessa två krafter lika och motsatta i riktning:

\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.

Det har vi alltså

{\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2))

eller

\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.

Då kommer den relativa accelerationen mellan två kroppar att ges av

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2))}\right )\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \över {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}= {\mathbf {F} _{12} \over \mu }.

Då kan vi dra slutsatsen att kropp 1 rör sig i förhållande till kropp 2:s position (och i kraftfältet för kropp 2) som en kropp med en massa lika med den reducerade massan . $\mu$

Lagrange mekanik

Tvåkroppsproblemet kan också beskrivas i den lagrangiska metoden . Lagrangefunktionen är skillnaden mellan kinetisk och potentiell energi. I denna uppgift, detta

L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r)) _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r }} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)

var är radievektorn för den i -te partikeln med massa . Potentiell energi beror på avståndet mellan partiklarna. Låt oss definiera vektorn ${\mathbf {r}}_{i}$ $mi}$

{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))

och låt masscentrum definiera referensramen

m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0

Sedan omdefinieras masspositionsvektorerna som $mi}$

\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))},\,\,\mathbf {r} _ {2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))}.

Då kan den nya Lagrange-funktionen skrivas om som

L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r)) ^{2}-V(r),

därifrån kan man se att problemet med två kroppar reducerades till problemet med en kropps rörelse.

Applikation

Den reducerade massan kan relateras till mer generella algebraiska uttryck som definierar förhållandet mellan elementen i systemet och har formen

\ {1 \over x_{\text{eq}}}=\summa _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+ {1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\ ,

där är kännetecknet för systemets i -te element (till exempel resistansen hos ett motstånd i en parallellkrets ), är den ekvivalenta egenskapen för hela systemet med n element (till exempel impedansen för en parallell sektion av kretsen). Uttryck av detta slag förekommer inom många områden av fysiken . $x_{i}\$ $x_{eq}\$

Konceptet med den reducerade massan kan hittas inom ingenjörsvetenskap , till exempel vid beräkning av strukturer för stötbelastning [2] .

Anteckningar

↑ S. M. Targ . Reducerad massa // Physical Encyclopedia : [i 5 ton] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - S. 110. - 704 sid. - 40 000 exemplar. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ A.I. Rusakov Korrekt beräkning av reducerade massor vid kollisionen . Vestnik RGUPS, nr 2, 2003 . Tillträdesdatum: 18 januari 2010. Arkiverad från originalet 19 februari 2012. (obestämd)

Länkar

Minskad massa vid HyperPhysics Arkiverad 16 december 2006 på Wayback Machine

Se även

Två kroppsproblem