Snabbhet

Rapidity ( eng. rapidity , som ibland också används [1] är termerna hyperspeed och vinkel för Lorentz rotation ) - i relativistisk kinematik , en monotont ökande funktion av hastighet , som tenderar till oändligheten när hastigheten tenderar mot ljusets hastighet . I motsats till hastighet, för vilken additionslagen är icke-trivial, kännetecknas hastighet av en enkel additionslag ("hastighet är additiv"). Därför, i problem relaterade till relativistiska rörelser (till exempel kinematik för partikelreaktioner i högenergifysik), är det ofta mer bekvämt att använda formalismen för hastigheter snarare än vanliga hastigheter.

Definition och egenskaper

Hastigheten uttrycks med formeln:

\theta =c\,\operatörsnamn {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

var

$\theta$ - fart,
$v$ - normal hastighet
$c$ är ljusets hastighet,
$\operatörsnamn {Arth} x$ - areatangent .

Yttangenten (eller hyperbolisk bågtans ) definieras i intervallet för argumentet från −1 till +1; med funktion $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ $x\to \pm 1$ $\operatorname {Arth} x\to \pm \infty .$

Alltså har hastighet dimensionen hastighet och när hastigheten ändras från till ändras den från till . Ibland introduceras också hastighetsparametern - en dimensionslös storhet , som ibland också kallas hastighet (särskilt med den vanliga användningen av enhetssystemet inom högenergifysik, där , vilket avsevärt förenklar formlerna; med denna definition blir hastigheten dimensionslös och sammanfaller med hastighetsparametern). $-c$ $+c$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operatörsnamn {Arth} {\frac {v}{c}}$ $c=1$

I gränsen för låga hastigheter är hastigheten ungefär lika med hastigheten:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\ ungefär v

kl .

v\ll c

I det ultrarelativistiska fallet kan hastighetsparametern uttryckas i termer av energi och longitudinell rörelsemängd (där α är avgångsvinkeln) enligt följande: $E\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

I det här fallet kan partikelns energi och longitudinella rörelsemängd uttryckas i termer av partikelmassa, tvärrörelsemängd och hastighetsparameter: $p_{\perp }=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatörsnamn {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatörsnamn {sh} \varphi .

Lorentz-faktor

En ofta använd storhet förknippad med hastighet är Lorentz-faktorn , eller Lorentz-faktorn , uppkallad efter G. A. Lorentz och definierad som

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))

Lorentz-faktorn är lika med hyperbolisk cosinus för hastighetsparametern:

\gamma =\operatörsnamn {ch} \varphi .

När hastigheten ökar från 0 till , ökar Lorentz-faktorn från 1 till . $c$ $\gamma$ $+\infty$

Hastighetsparameterns hyperboliska sinus är lika med produkten av Lorentz-faktorn och den dimensionslösa hastigheten:

\beta \gamma =\operatörsnamn {sh} \varphi .

Hastighetens additivitet

Låt i någon tröghetsreferensram två partiklar röra sig längs en rät linje, hastigheten på en av dem är lika med , och hastigheten på den andra i förhållande till den första är lika (hastigheter kan vara både positiva och negativa). Låt oss beteckna hastigheten för den andra partikeln i systemet som . Vid låga (jämfört med ljusets hastighet) hastigheter är den galileiska lagen om addition av hastigheter ungefär uppfylld . Men i det relativistiska fallet fungerar inte denna formel, och hastigheten för den andra partikeln måste beräknas med hjälp av Lorentz-transformationer . Relativistisk lag för addition av hastigheter $K$ $v_{1}$ ${\displaystyle v'_{2))$ $K$ $v_{2}$ $c$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

skiljer sig från den galileiska nämnaren som är nära enhet vid låga hastigheter. Betrakta hastigheterna som motsvarar hastigheterna . Det visar sig att hastigheten för den andra partikeln i referensramen är lika med summan av hastigheterna: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c))$ $K$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

Bekvämligheten med att skriva lagen om addition av hastigheter i termer av hastigheter har lett till det faktum att denna kvantitet används ganska flitigt inom relativistisk kinematik, särskilt inom acceleratorfysik. Man bör dock komma ihåg att tillägget av hastigheter sammanfaller i form med den galileiska vektortillägget av hastigheter endast för endimensionell rörelse av partiklar.

Den totala hastigheten introduceras också, som är additiv under Lorentz-transformationer och representerar ett avstånd i hastigheternas rymd. Hastighet är den längsgående komponenten av total hastighet. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

Den geometriska betydelsen av hastighet

I Minkowski-rymden är hastighet vinkeln mellan tangenten till partikelns världslinje och tidsaxeln i basreferensramen. I Minkowski-formalismen ( ) är denna vinkel imaginär . $x_{0}=ict$

I formalismen av hyperboliska komplexa tal (även känd som dubbla tal eller parakomplexa tal - en variant av komplexa tal där den imaginära enheten j definieras av relationen j 2 = +1 ), representeras en punkt i Minkowski-rummet av ett parakomplex tal z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , där φ och ρ är reella. I detta fall är vinkeln φ hastigheten för en partikel som rör sig jämnt från origo och passerar genom punkten z , och ρ är intervallet från origo till punkten z (det vill säga den korrekta tiden för partikeln som förflutit från passerar genom origo för att passera genom z ). Lorentz-transformationen bestäms genom att multiplicera rum-tidskoordinaterna uttryckta av parakomplexa tal med ett parakomplext tal med enhetsmodulen λ(φ) = e j φ . Som ett resultat bevaras alla intervall och det parakomplexa Minkowski-planet roteras med en vinkel φ . Två på varandra följande Lorentz-transformationer visar hastighetens additivitet, liknande additiviteten för rotationsvinkeln:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Vissa kvantiteter av speciell relativitet uttryckt i termer av hastighet

Relativistisk fart:

p=mc\cdot \operatörsnamn {sh} {\frac {\theta }{c))=mc\cdot \operatörsnamn {sh} \varphi ,

var:

m är massan,
c är ljusets hastighet,
φ = θ/ c är hastighetsparametern (dimensionslös hastighet).

Total energi:

E=mc^{2}\cdot \operatörsnamn {ch} {\frac {\theta}{c))=mc^{2}\cdot \operatörsnamn {ch} \varphi .

Hastighet i bensinstationen:

v=c\cdot \operatörsnamn {th} {\frac {\theta }{c))=c\cdot \operatörsnamn {th} \varphi .

Dimensionslös hastighet

\beta =\operatörsnamn {th} \varphi .

Relativistisk dopplereffekt (om hastighetsvektorn sammanfaller med riktningen till källan):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },

var är rödförskjutningsparametern . $z$

Se även

Pseudohastighet
Lorenz boost

Litteratur

Baburova O. V. Relativistisk kinematik och geometri av Lobachevsky // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (ryska)
Grishin V. G. Rapidity // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Långa rader. - S. 233. - 707 sid. — 100 000 exemplar.

Anteckningar

↑ Kopylov G.I. Fundamentals of kinematics of resonances. — M .: Nauka, 1970.