Mätarinvarians

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 maj 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Gauge-invarians är invariansen av fysikaliska fältteoretiska förutsägelser med avseende på (lokala) gauge-transformationer - koordinatberoende fälttransformationer som beskriver övergången mellan baser i utrymmet för interna symmetrier i detta fält.

Gauge invarians etablerades först i klassisk elektrodynamik . Fältets globala (oberoende av koordinaten) mätinvarians, i kraft av Noethers teorem , leder till lagen om bevarande av laddningen av detta fält (särskilt för elektrodynamik, till lagen om bevarande av elektrisk laddning ). Den lokala (koordinatberoende) mätinvariansen hos laddade fält för att bevara teorins dynamiska ekvationer kräver införandet av nya, så kallade mätfält.

Kravet på gauge invarians är en av de viktigaste bestämmelserna i elementär partikelfysik . Det är genom mätinvarians som det är möjligt att beskriva de elektromagnetiska , svaga och starka interaktionerna på ett självständigt sätt i Standardmodellen . I synnerhet "uppträder" det elektromagnetiska fältet i någon kvantfältteori under det ytterligare kravet på lokal gauge-invarians av teorins Lagrangian. Enligt denna princip är det möjligt att "härleda" Lagrangian av kvantelektrodynamiken (QED) från Lagrangian av Dirac-fältet (elektronfält eller elektron-positronfält).

Symmetri i fysik
omvandling	Motsvarande invarians	Motsvarande fredningslag _
↕ Sändningstid _	Tidens enhetlighet	…energi
⊠ C , P , CP och T - symmetrier	Tidsisotropi _	... paritet
↔ Sändningsutrymme _	Rymdens homogenitet	…impuls
↺ Rotation av rymden	Isotropi av rymden	… fart
⇆ Lorentz-grupp (boostar)	Relativitet Lorentz kovarians	… masscentrums rörelser
~ Mätare transformation	Mätarinvarians	... ladda

I klassisk elektrodynamik

Låta vara en godtycklig skalär funktion av koordinater och tid. Sedan om vi ändrar potentialerna enligt följande: $f=f(x,y,z,t)$

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t)),\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} + \nabla f,

där φ och A är skalära och vektorpotentialer,

då kommer systemets faktiska observerade beteende inte att förändras.

Detta är uppenbart från det faktum att värdena för de elektriska och magnetiska fälten kommer att förbli desamma under en sådan transformation. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Fasoberoende av ett komplext tal

Förenklat kan grundidén om mätinvarians förklaras enligt följande. Den huvudsakliga egenskapen som beskriver ett fysiskt system inom kvantmekaniken , vågfunktionen , är en komplex storhet . Men alla observerbara storheter som är konstruerade som bilinjära kombinationer av vågfunktioner visar sig vara verkliga (som det borde vara - trots allt, i vår påtagliga värld är alla storheter verkliga). Som ett resultat visar det sig att ingenting i teorins förutsägelser kommer att förändras om vågfunktionerna multipliceras med ett komplext tal lika i absolut värde ett - . (Adjointfunktionen multipliceras med det konjugerade komplexa talet). Detta är ganska naturligt: det absoluta värdet av fasen av ett komplext tal är en godtycklig sak och bör inte påverka teorins förutsägelser. $e^{{i\alpha}}$

Kvantmekaniken är således oföränderlig under globala fasrotationer , annars kallade globala gaugetransformationer .

Idén om mätinvarians

Är kvantmekaniken invariant med avseende på lokala fasrotationer ( lokal gauge-transformationer )? Med andra ord, kommer något att förändras om vi roterar vågfunktionen vid en punkt till en fas och vid en annan punkt till en annan? Ja, det kommer att förändras. I synnerhet är det uppenbart att den högra sidan av Schrödinger-ekvationen kommer att förändras, och på ett nästan godtyckligt sätt, och därav systemets utveckling i tiden. Det vill säga, kvantmekaniken för en fri partikel visar sig vara icke-invariant med avseende på lokala fasrotationer. ${\displaystyle e^{i\alpha (\mathbf {x} )))$

Är det möjligt att återställa invarians? Jo det kan du. Men för detta är det nödvändigt att introducera ett nytt fysiskt fält , som "känner" det inre utrymmet där vi producerar fasrotationer. Som ett resultat, under lokala fasrotationer, transformeras dessutom både vågfunktionerna och det nya fältet på ett sådant sätt att förändringar i ekvationerna på grund av dessa fasrotationer kompenserar, "kalibrerar" varandra. Det vill säga, kvantmekaniken med ytterligare ett nytt fält har blivit mätinvariant.

Om vi nu studerar egenskaperna hos det nya fältet, så kommer det att likna det elektromagnetiska fältet som vi observerar i vår värld. I synnerhet sammanfaller detta fälts växelverkan med materia bara med växelverkan mellan det elektromagnetiska fältet. Därför är det ganska naturligt att identifiera dessa två fält när man konstruerar en teori.

Således visade sig kravet på mätinvarians vara ett oväntat bekvämt sätt att också introducera det elektromagnetiska fältet i teorin. Det behövde inte övervägas separat, det dök upp i teorin nästan "av sig självt".

Mätfält som grund för standardmodellen

Den första enhetliga teorin om gravitations- och elektromagnetiska fält baserad på idéerna om mätinvarians föreslogs av G. Weil . Den moderna teorin om måttfält utvecklar och generaliserar sina idéer [1] baserade på måtttransformationer av en mer komplex form, vilka är ansvariga för invarians i något mer komplext utrymme av interna frihetsgrader.

Till exempel leder invariansen under kvarkrotationer i färgrymden till att starka interaktioner också kan beskrivas som mätfält. Svaga interaktioner kan inte beskrivas separat som gauge interaktioner, men det finns en oväntat elegant metod för att beskriva de elektromagnetiska och svaga interaktionerna samtidigt som två olika manifestationer av ett visst gauge elektrosvagt fält.

Således härleds alla fundamentala interaktioner på basis av mätinvarians. Ur synvinkeln att konstruera en fysikalisk teori är detta ett extremt ekonomiskt och framgångsrikt schema.

Gravitationsinteraktionen skiljer sig åt. Det visar sig också vara ett mätfält, och den allmänna relativitetsteorin är just mätteorin för gravitationsinteraktion. Det är dock formulerat, för det första, inte på kvantnivå, och det är fortfarande inte klart hur man exakt ska kvantisera det, och för det andra är det utrymme där rotationer utförs vår fyrdimensionella rum-tid , och inte den inre rum av interaktion symmetri.

Historik

Den tidigaste fältteorin med mätsymmetri var Maxwells formulering av klassisk elektrodynamik 1864-1865, som angav att varje vektorfält vars rotor försvinner inte förändras när funktionens gradient läggs till, det vill säga för sådan addition. till vektorpotentialen ändrar inte magnetfältet [2] . Vikten av denna symmetri gick obemärkt förbi i de tidigaste formuleringarna. På liknande sätt, tyst , härledde Hilbert Einsteins fältekvationer genom att postulera åtgärdens invarians under en allmän koordinattransformation. Senare föreslog Hermann Weyl , i ett försök att förena allmän relativitet och elektromagnetism , att invarians under omskalning (eller "mätare") också är en lokal symmetri av allmän relativitet [3] . Efter utvecklingen av kvantmekaniken modifierade Weil, Vladimir Fock och Fritz London mätaren genom att ersätta skalfaktorn med en komplex kvantitet och förvandlade skalomvandlingen till en fasförändring - detta är U(1)-mätarens symmetri. Detta förklarade inverkan av det elektromagnetiska fältet på vågfunktionen hos en laddad fundamental partikel . Detta var den första allmänt accepterade mätteorin, populariserades av Pauli 1941 [4] .

1954, i ett försök att lösa en hel del förvirring inom partikelfysik , presenterade Zhenning Yang och Robert Mills icke-abelian gauge-teori som en modell för att förstå den starka kraft som håller samman nukleoner i atomkärnor [5] . (Ronald Shaw, arbetande under Abdus Salam , introducerade självständigt begreppet i sin doktorsavhandling.) Genom att generalisera elektromagnetismens mätinvarians försökte de konstruera en teori baserad på verkan av den (icke-abelianska) symmetrigruppen SU(2) på isospin- dubbletten av protoner och neutroner . Detta liknar verkan av U(1) -gruppen på spinorfält i kvantelektrodynamik . Inom partikelfysik har tonvikt lagts på användningen av kvantiserade gauge-teorier.

Senare fann denna idé tillämpning i kvantfältteorin om den svaga interaktionen , och dess kombination med elektromagnetism i den elektrosvaga teorin. Gauge-teorier blev ännu mer attraktiva när det visade sig att icke-abelian-gage-teorier återger en egenskap som kallas asymptotisk frihet , som ansågs vara en viktig egenskap hos starka interaktioner. Detta föranledde sökandet efter en mätteori för den starka interaktionen. Denna teori, nu känd som quantum chromodynamik , är en mätteori med verkan av SU(3)-gruppen på kvarkfärgstrillingen . Standardmodellen kombinerar beskrivningen av elektromagnetism, svag växelverkan och starka växelverkan på mätteorispråket.

På 1970-talet började Michael Atiyah studera matematiken för lösningar på de klassiska Yang-Mills ekvationer . År 1983 visade Atiyahs elev Simon Donaldson , utifrån detta arbete, att den differentierbara klassificeringen av släta 4 -grenrör skiljer sig mycket från deras klassificering fram till homeomorfism [6] . Michael Friedman använde Donaldsons arbete för att visa exotiska strukturer i R 4 , det vill säga exotiska differentierbara strukturer i euklidiskt 4-rum. Detta ledde till ett växande intresse för mätteori som sådan, oavsett dess framsteg inom grundläggande fysik. 1994 uppfann Edward Witten och Nathan Seiberg gauge-teoretiska metoder baserade på supersymmetri , vilket gjorde det möjligt att beräkna några topologiska invarianter [7] [7] ( Seiberg-Witten invarianter ). Detta bidrag från gauge teori till matematik har lett till förnyat intresse för området.

Vikten av mätteorier i fysiken illustreras av den enorma framgången för matematisk formalism i att tillhandahålla en enhetlig ram för att beskriva kvantfältsteorier : elektromagnetism , svag interaktion och stark interaktion . Denna teori, känd som Standardmodellen , beskriver exakt experimentella förutsägelser om tre av de fyra grundläggande naturkrafterna och är en mätteori med en mätgrupp på SU(3) × SU(2) × U(1) . Moderna teorier som strängteori , såväl som allmän relativitetsteori , är mätteorier på ett eller annat sätt.

Se Pickering [8] för mer information om historien om mät- och kvantfältsteorier.

Global gauge symmetri U(1)

Enligt Noethers teorem leder invariansen av handlingen med avseende på någon kontinuerlig operation (grupp) av symmetri till motsvarande bevarandelag [9] . Det omvända påståendet att varje bevarad storhet har sin egen symmetri är också sant, vilket kan observeras i exemplet med bevarande av elektrisk laddning [10] . Låt Lagrangian av ett system av två verkliga fria skalära fält och ges i formen [11] $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1} )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{ 2})(\partial ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

( 1.1 )

då kan man formellt betrakta dessa två fält i ett tvådimensionellt isotoprum med enhetsvektorer i formen $({\vec {i)),{\vec {j)))$

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

( 1.2 )

Denna representation gör det möjligt att avslöja den geometriska betydelsen av mätartransformationen. I det här fallet tar Lagrangian (1.1) den enkla formen

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec { \phi )))-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

( 1.3 )

som inte ändras under spårviddstransformationer

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _ {2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

( 1.4 )

En sådan rotation genom en vinkel i ett isotoprum är ett element i den ortogonala gruppen av tvådimensionella rotationer O(2) eller gruppen U(1) som är isomorf till den, ändrar inte Lagrangian av systemet (1.3) [11] . Om vi betraktar dessa fält som ett par av komplexa fält, kan Lagrangian (1.1) skrivas som [12] $\alfa$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2)),\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\ phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\ phi\,,

( 1,5 )

och mätartransformationen för komplexa fält blir

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}) ,\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\ ,.

( 1,6 )

Denna symmetri har en global karaktär eftersom den inte påverkar rum-tidskoordinaterna [12] [10] .

Lokal mätare symmetri

Frågan uppstår om det är möjligt att ersätta den globala symmetrin med en lokal, det vill säga beroende på en punkt i rum-tid , men samtidigt som Lagrangianens egenskaper bibehålls. Det visar sig att Lagrangian ändrar sin form på grund av närvaron av ytterligare derivator av funktionen [11] . Ändå är det möjligt att ändra Lagrangian på ett sådant sätt att den bevaras under verkan av lokala spåromvandlingar. För att göra detta introduceras ett nytt vektorfält som interagerar med Noether-strömmen. Tillägget till Lagrangian (1,5) har formen $\phi (x)\högerpil e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\högerpil e^{i\alpha (x)} \phi ^{*}(x)$ $\alfa(x)$ $A_{{\mu }}$

{\mathcal {L_{1))}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_ {\mu }\,,

( 1,7 )

var är den dimensionslösa kopplingskonstanten [13] . Detta leder till uppkomsten av ett bidrag till variationen av Lagrangian från produkten av alla fält, och för att bli av med det introduceras ytterligare en term $e$

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu}A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

( 1,8 )

som fullständigt återställer mätinvariansen för den nya Lagrangian [13] . Eftersom det införda vektorfältet också måste ge ett fritt bidrag till Lagrangian, introduceras en 4-dimensionell fältrotor för det enligt standardformeln - detta är den elektromagnetiska fältstyrkan. Lägger man till bidragen (1.5) , (1.7) och (1.8) till lagrangian för det fria vektorfältet , blir resultatet lagrangian för elektrodynamiken för det komplexa skalära fältet [14] : ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ $A_{{\mu }}$ $F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ $\phi$

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu}\phi )(\partial ^{\mu}\phi ^{*})-m^{2}\phi ^ {*}\phi -ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2 }A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\, ,

( 1,9 )

där fältet motsvarar en elektrisk laddning och det komplexa fältet motsvarar en laddning med motsatt tecken. Denna metod för införandet av elektromagnetisk interaktion användes av Weil på 20-talet av XX-talet [15] . $\phi$ $e,$ $\phi ^{*}$ $-e.$

Gaugesymmetri visade sig vara relaterad till interaktionsformen [15] . Symmetri bestämmer också entydigt dynamiken i partikelinteraktion. Begreppet lokal mätsymmetri kan appliceras på kvarkar och hjälpa till att bygga teorin om starka interaktioner [10] .

Se även

Anteckningar

↑ Uchiyama, 1986 , sid. 174.
↑ Vizgin, 1985 , sid. 261.
↑ Vizgin, 1985 , sid. 265.
↑ Pauli, Wolfgang (1941). "Relativistiska fältteorier om elementarpartiklar". Varv. Mod. Phys . 13 (3): 203-32. Bibcode : 1941RvMP...13..203P . DOI : 10.1103/revmodphys.13.203 .
↑ Yang CN, Mills RL (1954). "Bevarande av isotopisk spinn och isotopisk mätinvarians". Phys. Varv. 96 : 191-195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Donaldson, Simon K. (1983). "Självdubbla anslutningar och topologin hos släta 4-grenrör". Tjur. amer. Matematik. soc. 8 (1): 81-83. DOI : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 .
↑ 1 2 Seiberg, N. & Witten, E. (1994a), Elektrisk-magnetisk dualitet, monopolkondensation och inneslutning i N=2 supersymmetrisk Yang-Mills teori , Nuclear Physics B Vol 426 (1): 19–52 . DOI 10.1016/0550-3213(94)90124-4 ; Erratum , Nuclear Physics B Vol. 430 (2): 485–486, 1994 , DOI 10.1016/0550-3213(94)00449-8
↑ Pickering, A. Constructing Quarks. - University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-66799-5 .
↑ Sadovsky, 2003 , sid. 24.
↑ 1 2 3 S. S. Gershtein. Vad är en färgladdning, eller vilka krafter binder kvarkar // Sorovsky Educational journal. - 2000. - Nr 6 . - S. 78-84 .
↑ 1 2 3 Sadovsky, 2003 , sid. 27.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , sid. 26.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , sid. 29.
↑ Sadovsky, 2003 , sid. trettio.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , sid. 31.

Litteratur

Vizgin V.P. Enade fältteorier under den första tredjedelen av XX-talet. - M. : Nauka, 1985. - 304 sid.
Sadovsky MV Föreläsningar om kvantfältteori . - Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2003. - 480 s. - ISBN 5-93972-241-5 .
Jackson JD och Okun LB Historiska rötter till mätinvarians // Rev. Mod. Phys.. - 2001. - T. 73 . - S. 663 . - doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 . - arXiv : hep-ph/0012061 .
G. 't Hooft, Gauge theories of forces between elementarpartiklar , " Advances in the Physical Sciences ", 1981, vol. 135, nr. 3, sid. 379. (översättning av en artikel från Scientific American , juni 1980, vol. 242, s. 90.)
Konopleva N. P., Popov V. N. . Kalibreringsfält. — M .: Atomizdat , 1972.
Slavnov AA, Faddeev LD Introduktion till kvantteorin för mätfält. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1988.
Sardanashvili G. A. Moderna metoder för fältteori. 1. Geometri och klassiska fält. - M .: URSS , 1996. - ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvili G. A. Moderna metoder för fältteori. 4. Geometri och kvantfält. - M .: URSS , 2000. - ISBN 5-88417-221-4 .
Uchiyama R. Vad har fysiken kommit fram till. Från relativitetsteorin till teorin om mätfält. - M . : Kunskap, 1986. - 224 sid.
Voloshin M. B. , Ter-Martirosyan K. A. Teorin om mätare interaktioner av elementarpartiklar. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 288 sid.
Ivanenko D. D. (red.). Elementarpartiklar och kompenserande fält. - M . : Mir, 1964. - 298 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)