Naturlig omvandling

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

I kategoriteorin ger en naturlig transformation ett sätt att översätta en funktion till en annan samtidigt som den inre strukturen bevaras (som kompositioner av morfismer). Därför kan en naturlig transformation förstås som en "morfism av funktorer". Denna intuition kan rigoröst formaliseras i definitionen av kategorin funktioner . Naturliga transformationer är den mest grundläggande definitionen inom kategoriteorin, tillsammans med funktioner, eftersom det förekommer i de flesta av dess tillämpningar.

Definition

Låta och vara samvarierande funktörer från kategorin till . Sedan tilldelar den naturliga transformationen till varje objekt i kategorin en morfism i kategorin som kallas en komponent i , så att för varje morfism är diagrammet som visas i figuren nedan kommutativt. När det gäller kontravarianta funktorer är definitionen exakt densamma (vi behöver bara vända de horisontella pilarna, med tanke på att de är omvända av den kontravarianta morfismen). $F$ $G$ $C$ $D$ $X$ $C$ $\eta_X\kolon F(X) \till G(X)$ $D$ $\eta$ $X$ $f\kolon X\till Y$ $C$ $D$

Om η är en naturlig transformation av en funktion F till en funktion G , skriver vi η: F → G. Det sägs också att familjen av morfismer η X : F ( X ) → G ( X ) är naturlig i X.

Om för varje X i C morfismen η av X är en isomorfism i D , så kallas η en naturlig isomorfism (eller, ibland, en naturlig ekvivalens eller funktorisomorfism ).

En infranaturlig transformation η från F till G är helt enkelt en familj av morfismer η X : F ( X ) → G ( X ). Naturaliseraren av η, nat(η), är den största underkategorin av C , som innehåller de objekt av C , i den begränsning till vilken η är en naturlig transformation.

Om η : F → G och ε : G → H är naturliga transformationer, kan vi ta deras sammansättning och få en naturlig transformation εη : F → H . Detta görs komponent för komponent: (εη) X = ε X η X . Denna operation är associativ och har en enhet, som gör det möjligt att bilda kategorin funktioner .

Exempel

Ett exempel på en naturlig transformation

Ett exempel på en naturlig omvandling är determinanten . Faktum är att låt vara en kommutativ ring , då kvadratiska matriser av ordning över bildar en monoid med avseende på multiplikation, och vara en multiplikativ monoid av själva ringen . Låt oss vara en funktion som tar en ring till en monoid av matriser över den. Eftersom determinanten uttrycks i termer av multiplikation, addition och subtraktion, som bevaras av ringens morfismer (vilket innebär att morfismen och dessa operationer pendlar), kommer mappningen att vara en naturlig transformation mellan en funktor och en funktor, som tilldelar varje ring är identisk med sin multiplikativa monoid (båda fungerar från kategorin kommutativa ringar till kategorin monoider ). $R$ $n$ $R$ $R'$ $R$ $\mathbf{Mat}_n(R)$ $R$ $R$ $\mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R))$ $\mathbf{Mat}_n(R)$ $R$ $\mathbf{CRing}$ $\mathbf{mån}$

Ett exempel på en "onaturlig" transformation

Låt oss ge ett exempel på en omvandling som inte är naturlig. Låta vara ett n - dimensionellt vektorrum över fältet . är dess grund, är grunden för det dubbla utrymmet av funktionaler , sådan att $V$ $\mathbb {F}$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $e^1,e^2,\prickar,e^n$ $D(V)$

e^i(e_j) = \delta^i_j

var är Kronecker-symbolen . Alla n -dimensionella rum är isomorfa. Låt oss sätta $\delta^i_j$

k(e_i)=e^i

och sträcker sig linjärt till hela utrymmet . mappar den identiska (uppenbarligen kovarianta) funktorn till en kontravariant funktor som mappar vektorrummet till det dubbla rummet av funktionaler. Om vi tar kategorin ändlig-dimensionella vektorrum, där morfismer är isomorfismer (och inte några linjära avbildningar), så kan vi ersätta den kontravarianta funktorn med en kovariant funktor (där , ). Omvandlingen kommer inte att vara naturlig ens i det enklaste fallet med ett endimensionellt utrymme över fältet av reella tal. Låt V faktiskt vara endimensionell och isomorfismen vara en multiplikation med 2: $k$ $V$ $k$ $jag$ $D$ $f$ $D$ $D'$ $D'(V) = D(V)$ $D'(f) = D(f^{-1})$ $k\kolon V \till D(V)$ $f\kolon V\till V$

f(e_1) = 2 e_1

Då , medan , det vill säga, diagrammet är icke- kommutativt. $D'(f)(k(e_{1}))={1 \över 2}e^{1}$ $k(f(e_1)) = 2 e^1$

Anledningen till detta är ganska tydlig - det bestäms av en helt slumpmässigt vald grund. Om vi tar det andra dubbla utrymmet , då i fallet med ett ändligt dimensionellt utrymme finns det en isomorfism (nämligen för alla och funktionella ). I det här fallet definierar isomorfism en naturlig omvandling av identitetsfunktorn till en funktor . $k$ $D(D(V))$ $h\kolon V \till D(D(V))$ $h(x)(f) = f(x)$ $x\i V$ $f\in D(V)$ $h$ $jag$ $D^{2}$

Polymorfa funktioner

Ett annat viktigt exempel på naturliga transformationer är polymorfa funktioner (vilket betyder parametrisk polymorfism ). Ett exempel på en sådan omvandling är den omvända :: för en funktion. [a] -> [a] , som vänder på en lista med element av en godtycklig typ. I detta fall är h(T) omvänd T :: [T] -> [T]; och funktionerna F och G är List.

Detta faktum kan formuleras på följande sätt: forall f :: a -> b : map f . reverse a = reverse b . karta f . Detta är en av de så kallade "fria satserna".

Naturligheten av alla parametriskt polymorfa funktioner är en följd av Reynolds teorem .

Litteratur

Dold A. Föreläsningar om algebraisk topologi - M. : Mir, 1976.
McLane S. Homology - M . : Mir, 1966.
McLane S. Kategorier för en arbetande matematiker - M . : Fizmatlit, 2004.
Wadler, Philip - Teorem gratis!