Gravitationsenergi

Gravitationsenergi är den potentiella energin i ett system av kroppar ( partiklar ), på grund av deras ömsesidiga gravitationsattraktion .

Den allmänt accepterade skalan är att för alla system av kroppar som är belägna på ändliga avstånd är gravitationsenergin negativ , och för oändligt avlägsna, det vill säga för gravitationsmässigt icke-samverkande kroppar, är gravitationsenergin noll . Systemets totala energi , lika med summan av gravitations- och kinetisk energi , är konstant. För ett isolerat system är gravitationsenergin bindningsenergin . System med positiv totalenergi kan inte vara stationära.

Gravitationsenergi spelar en mycket viktig roll i de slutliga stadierna av evolutionen av stjärnor , under deras omvandling till neutronstjärnor och supernovor [1] .

Gravitationsbundna system

Ett gravitationskopplat system är ett system där gravitationsenergin är större än summan av alla andra typer av energier (utöver resten av energin ).

Jorden, som, som alla himlakroppar, själv är ett gravitationsbundet system, är också en del av följande gravitationsbundna system:

I klassisk mekanik

För två gravitationspunktkroppar med massorna M och m är gravitationsenergin : $U_{g}$

\ U_{g}=-G{Mm \over R},

var:

\G

är gravitationskonstanten ;

\R

är avståndet mellan kropparnas masscentra.

Detta resultat erhålls från Newtons gravitationslag , förutsatt att för oändligt avlägsna kroppar är gravitationsenergin 0. Uttrycket för gravitationskraften är

F_{g}=G{Mm \över R^{2)),

var:

F_{g}

är gravitationsinteraktionens kraft

Å andra sidan, enligt definitionen av potentiell energi

F_{g}={\frac {dU_{g}}{dR}}.

Sedan:

U_{g}=const-G{Mm \over R}.

Konstanten i detta uttryck kan väljas godtyckligt. Den väljs vanligtvis lika med noll, så att när r tenderar mot oändligheten, tenderar den mot noll. $U_{g}$

Samma resultat gäller för en liten kropp som ligger nära ytan på en stor. I det här fallet kan R anses lika med , där är radien för kroppen med massan M och h är avståndet från tyngdpunkten för kroppen med massan m till ytan av kroppen med massan M. $h+R_{M}$ ${\displaystyle R_{M))$

På ytan av kroppen M har vi:

U_{g}=-G{Mm \över R_{M)),

Om kroppens dimensioner är mycket större än kroppens dimensioner , kan formeln för gravitationsenergi skrivas om i följande form: $M$ $m$

U_{g}=-G{Mm \over R_{M}+h}=-mG{\frac {M}{R_{M))}{\frac {1}{1+h/R_{ M}}}\approx -mG{\frac {M}{R_{M}}}\left(1-{\frac {h}{R_{M}}}\right)=mgh-m{\frac { GM}{R_{M}}},

där värdet kallas fritt fallacceleration. I det här fallet beror termen inte på kroppens höjd över ytan och kan uteslutas från uttrycket genom att välja lämplig konstant. Således, för en liten kropp som ligger på ytan av en stor kropp, är följande formel sann ${\displaystyle g={\frac {GM}{R_{M}^{2))))$ ${\displaystyle m{\frac {GM}{R_{M))))$

U_{g}=mgh.

I synnerhet används denna formel för att beräkna den potentiella energin hos kroppar som ligger nära jordens yta.

Den negativa potentiella energin här beror på att det är omöjligt att ta kroppens geometriska centrum (det vill säga ) som referenspunkt samtidigt som man accepterar hypotesen att kroppen är en materiell punkt. I detta fall kommer den potentiella energin att tendera till oändlighet i centrum (en singularitet bildas). Därför är det vanligt att betrakta en oändligt avlägsen punkt som utgångspunkten för potentiell energi. Minustecknet säger helt enkelt att den potentiella energin ökar med avståndet från kroppen. $R=0$

Men om nödvändigt kan singulariteten undvikas genom att anta att hela massan av den större kroppen inte är koncentrerad till en punkt, utan är jämnt fördelad i en boll med radie . Det visar sig att i detta fall kommer attraktionskraften inuti kroppen att beskrivas av ett linjärt förhållande med avseende på (det vill säga den representerar elasticitetskraften), och utanför, som tidigare, kommer den att vara proportionell mot den omvända kvadraten . $R_{M}$ $R$

$F_{g}=mg\cdot \left\{{\begin{matrix}{\bar {R}}&,{\bar {R}}\leq 1\\{\bar {R}}^ {-2}&,{\bar {R}}>1\end{matris}}\höger.,$

var är det fria fallaccelerationen nära ytan av den större kroppen; är det normaliserade avståndet från centrum av den större kroppen, samtidigt som det motsvarar ytans nivå, - till läget under ytan och till läget ovanför ytan. $g$ ${\bar {R}}=R/R_{M}$ ${\bar {R}}=1$ ${\bar {R}}<1$ ${\bar {R}}>1$

I detta fall kommer den potentiella energin, om vi antar att den är lika med noll i kroppens mitt, att beskrivas som

$U_{g}=U_{s}\cdot \left\{{\begin{matrix}{\bar {R}}^{2}&,{\bar {R}}\leq 1\\3 -{\frac {2}{\bar {R}}}&,{\bar {R}}>1\end{matris}}\höger.,$

var är den potentiella energin på kroppens yta. Den potentiella energin vid en punkt i oändligheten är $U_{s}={\frac {mgR_{M}}{2}}={\frac {GMm}{2R_{M}}}$

${\displaystyle U_{\infty }=3U_{s}={\frac {3GMm}{2R_{M))))$ .

Genom att jämföra den potentiella energin på ytan och i oändligheten med den kinetiska energin, kan vi bestämma hastigheterna som är karakteristiska för den aktuella kroppen:

$v_{1}={\sqrt {gR_{M))}={\sqrt {\frac {GM}{R_{M))))$ är den minsta hastighet som krävs för en liten kropp för att nå ytan på en större kropp från dess centrum. Eller maxhastigheten för en liten kropp som kastas ner i en vertikal tunnel. Det är exakt lika med rörelsehastigheten i en cirkulär bana nära ytan av en större kropp ( den första kosmiska hastigheten ).

$v_{2}={\sqrt {2gR_{M))}={\sqrt {\frac {2GM}{R_{M))))$ - Den minsta flykthastigheten för en liten kropp till oändlighet från ytan av en stor kropp ( andra kosmisk hastighet ).

$v_{20}={\sqrt {3gR_{M))}={\sqrt {\frac {3GM}{R_{M))))$ - Minsta flykthastighet för en liten kropp till oändlighet från centrum av en stor kropp (analogt med den andra kosmiska hastigheten när en liten kropp "skjuter" från centrum av en stor kropp).

Om vi jämför gravitationskraften med centrifugalkraften kan vi få den hastighet som krävs för en liten kropp för att röra sig i en cirkulär bana runt centrum av en större kropp

$v_{o}=v_{1}\cdot \left\{{\begin{matrix}{\bar {R}}&,{\bar {R}}\leq 1\\{\bar {R ))^{-{\frac {1}{2}}}&,{\bar {R}}>1\end{matris}}\höger.$ .

Från gravitationsdragen inuti en större kropp rör sig en liten kropp inuti den som om den hakas fast i änden av en imaginär fjäder, vars andra ände är fäst vid kroppens mitt. Om en sådan kropp kastas vertikalt ner från ytan in i en imaginär vakuumtunnel som passerar genom planetens centrum, kommer den att utföra harmoniska svängningar med en period

$T_{g}=2\pi {\sqrt {\frac {R_{M}}{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {R_{M}^{3}}{GM }}}$ ,

vilket för jorden motsvarar 5064 s eller 1 timme, 24 minuter, 24 sekunder. Den maximala hastigheten under flygningen genom kroppens centrum är lika med den första kosmiska. Styvheten hos en sådan imaginär fjäder är lika med

${\displaystyle k_{g}={\frac {mg}{R_{M))}={\frac {GMm}{R_{M}^{3))))$ .

I allmän relativitetsteori

I den allmänna relativitetsteorin , tillsammans med den klassiska negativa komponenten av gravitationsbindningsenergin, uppträder en positiv komponent på grund av gravitationsstrålning , det vill säga den totala energin i gravitationssystemet minskar med tiden på grund av sådan strålning.

Se även

Anteckningar

↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Nuclear Physics. - M., Nauka, 1972. - sid. 553-557

Litteratur

Tsokos, KA Fysik för IB Diploma Full Color . — reviderad. - Cambridge University Press , 2010. - S. 143. - ISBN 978-0-521-13821-5 .
MacDougal, Douglas W. Newtons gravitation: en introduktionsguide till universums mekanik . — illustrerad. - Springer Science & Business Media, 2012. - P. 10. - ISBN 978-1-4614-5444-1 .
För en demonstration av gravitationsenergins negativitet, se Alan Guth , The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6 , Appendix A—Gravitationsenergi.

Länkar

Fitzpatrick Richard. Gravitationell potentiell energi . farside.ph.utexas.edu . University of Texas i Austin (2 februari 2006). (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 16255316s