Omvänd element

Det inversa elementet är en term i allmän algebra som generaliserar begreppen om det reciproka talet (för multiplikation) och det motsatta talet (för addition).

Definitioner

Låta vara en uppsättning på vilken en binär operation definieras , betecknad med en punkt ( ), med ett neutralt element . Låta vara ett par godtyckliga element i uppsättningen . Om likhet är sant, då kallas det höger invers (eller höger invers ) till . $(M,\cdot )$ $M,$ $\cdot$ $e$ $x,y$ $M$ $x\cdot y=e,$ $y$ $x$

På liknande sätt, om likheten håller, kallas den vänstra inversen (omvänd från vänster) till $y\cdot x=e,$ $y$ $x.$

Ett element som är inversen av både höger och vänster, det vill säga ett som helt enkelt kallas inversen av och betecknas med . Ett element för vilket det finns ett inverst element sägs vara inverterbart . $y\in M$ $x$
$x\cdot y=y\cdot x=e,$
$x$ $x^{{-1}}$

Anteckningar

Ovanstående definition ges i multiplikativ notation. Om additiv notation används kallas det inversa elementet för det motsatta elementet och betecknas . $(M+)$ $-x$
Generellt sett kan samma element ha flera vänsterinverser och flera högerinverser, och vänstern behöver inte matcha högern. $x\i M$

Egenskaper

Låt operationen vara associativ . Sedan om ett element har vänster invers och höger invers element, då är de lika och unika. $\cdot$ $x\i M$

Följd : i en monoid har varje element högst en invers. Alla inverterbara element i en monoid bildar en grupp ; denna grupp är inte tom eftersom den innehåller åtminstone ett neutralt element.

Exempel

Mycket av	binär operation	Omvänd element
Riktiga nummer	$+$ ( tillägg )	$-x$ ( motsatt nummer )
Reella tal inte lika med noll	$\cdot$ ( multiplicera )	$1/x$ ( ömsesidigt )
Visa funktioner $f:M\till M$	$\cirkel$ ( funktionssammansättning )	$f^{-1}$ ( omvänd funktion )

Se även

Grupp