Öppna matematiska problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 augusti 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Öppna (olösta) matematiska problem är problem som har övervägts av matematiker , men som ännu inte har lösts. Ofta i form av hypoteser , som förmodligen är sanna men måste bevisas .

I den vetenskapliga världen är bruket att sammanställa listor över öppna problem som är relevanta för tillfället av välkända vetenskapsmän eller organisationer populär. I synnerhet anmärkningsvärda listor över matematiska problem är:

Med tiden kan publicerade frågor från en sådan lista lösas och därmed förlora sin öppna status. Till exempel har de flesta av Hilberts problem som presenterades av honom 1900 nu lösts på ett eller annat sätt.

Talteori

Goldbach-problemet . Kan varje jämnt tal större än 2 representeras som summan av två primtal ? [ett]
Warings problem . Hardy - funktionen är den minsta så att ekvationen är lösbar för . Värdena för denna funktion är endast kända för lika med 2 och 4. $G(n)$ $k$ $x_1^n+x_2^n + \dots + x_k^n = N$ $N\geqslant N_0(n)$ $n$
Finns det en oändlig uppsättning tvillingprimtal ?
Beals hypotes . Är det sant att om var finns naturliga tal och , då har de en gemensam primtallare ? $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Collatz- hypotes (hypotes ). $3n+1$
Erdős hypotes . Är det sant att om summan av reciproka för någon uppsättning naturliga tal divergerar , så kan man i denna mängd hitta godtyckligt långa aritmetiska progressioner ?
Van der Waerden nummer . Vad är minimum för en uppdelning av en uppsättning i två delmängder , minst en av dem kommer att innehålla en aritmetisk progression med längden 7? [2] $N$ $\{1,\;2,\;\ldots,\;N\}$
Finns det en Euler-låda (en ruta med alla heltalskanter och främre diagonaler) vars huvuddiagonal också har heltalslängd ? [3]
Tre av Pollocks fyra hypoteser .

Geometri

12 olösta problem från Wernicks lista om att bygga en triangel från tre markerade singulära punkter [4] .
I problemet med att flytta en divan har maximaliteten för den bästa uppskattningen underifrån ( Gervers konstanter ) inte bevisats.
Är det möjligt att hitta 4 punkter på någon stängd Jordan-kurva i planet som är hörn på någon kvadrat? [5] [6]
Finns det en konstant sådan att varje uppsättning punkter i planet med area måste innehålla hörnen på minst en triangel av area 1? [7] $A$ $A$
Finns det en tät uppsättning punkter i planet så att avståndet mellan varje två punkter är rationellt? [åtta]
Finns det en triangel med heltalssidor, medianer och area? [9] [10]
Finns det en punkt på planet, varifrån avståndet till var och en av de 4 hörnen på enhetskvadraten är rationell? [10] [11]
Problem om 9 cirklar . Finns det 9 cirklar så att varannan skärs och centrum för varje cirkel ligger utanför de andra cirklarna? (Exekveringstiden för kontrollalgoritmen är för lång).
Har någon konvex polyeder en utveckling utan självkorsningar? [12]
Positiva reella tal ges . Vilken är den största och minsta volymen av en polyeder vars ytor är lika med dessa tal? $S_0,\;\ldots,\;S_n$
Hur många gånger kan volymen av en icke-konvex polyeder överstiga volymen av en konvex polyeder som består av samma ytor? [13]
Vid vilket minimum kan en konvex kropp med enhetsvolym placeras inuti en triangulär volympyramid [14] $V$ $V?$
Vad är det kromatiska antalet av -dimensionella euklidiska rymden? Detta problem har inte lösts ens för ett flygplan. Det är med andra ord inte känt vad som är det minsta antalet färger som behövs för att de ska kunna färga planet så att inga två punkter som är på enhetsavstånd från varandra målas i samma färg ( Nelson-Erdős-Hadwiger problem ) . $n$
Thomson problem . Hur man placerar identiska laddade punkter på sfären så att den potentiella energin i systemet (det vill säga summan av parvisa ömsesidiga avstånd mellan punkter) är minimal (problemet är strikt löst endast för ) [15] . Hur många jämviktstillstånd (lokala extrema) finns det för ett poängsystem ? $n$ $n=2,\;3,\;4,\;6,\;12$ $n$
Hur placerar man punkter på en sfär så att det minsta av de parvisa avstånden mellan dem är maximalt? [16] $n$
För varje par naturliga tal, hitta det minsta reella talet så att varje uppsättning enhetsdiameter i det dimensionella euklidiska utrymmet kan delas in i delmängder med en diameter på högst . Problemet har endast lösts i ett fåtal specialfall [17] [18] . $(n,\;k)$ $d(n,\;k)$ $n$ $k$ $d(n,\;k)$
Vad är området för Mandelbrot-uppsättningen , och var ligger dess massacentrum på abskissan? Det finns en uppskattning på 1,506 591 77 ± 0,000 000 08 [19] .
En uppgift med ett lyckligt slut . Vid vilket minimum av alla punkter på planet, av vilka inte tre ligger på samma linje, finns det hörn av någon konvex -gon, och är det sant att ? Lösningen är endast känd för . Resultatet för (som visade sig vara 17) erhölls 2006 med hjälp av datoranalys. $m$ $m$ $n$ ${\displaystyle m=1+2^{n-2))$ $n<7$ $n=6$
Vilket är det minsta antalet brickor som kan innehålla den uppsättning skåpbilsbrickor som kan belägga planet endast icke-periodiskt? Det minsta kända resultatet är 11 [20] .
Finns det i alla polygonala rum med spegelväggar en punkt där en ljuskälla placeras där hela rummet kommer att belysas? [21]
Är det möjligt att placera 8 punkter på planet så att inga 3 av dem ligger på samma linje, inga 4 ligger på samma cirkel och avståndet mellan två punkter är ett heltal? Lösningen för 7 poäng hittades 2007 [22] [23] [24] .
Vilken är den största möjliga volymen av det konvexa skrovet för en rymdkurva med längd 1?
Bonnesen-fänkålshypotesen . Vilken tredimensionell kropp med konstant bredd har minst volym? [25] [26] [27]
Har varje polygon också en polygon vars alla hörn är belägna på ett mindre avstånd än från motsvarande hörn i den initiala polygonen och vars alla sidor och diagonaler är av rationell längd? [28] $\epsilon > 0$ $\epsilon$

Packningsproblem

Vilket är det största antalet icke-skärande cirklar med enhetsradie som kan placeras på en sfär med radie ? [29] $R$
Vilken är sidan på den minsta kvadraten där 2 enhetscirklar kan packas, varav en kan skäras längs kordan i 2 segment? [trettio]
Vilken är den minst täta stela packningen av identiska cirklar i planet? [trettio]

Flerdimensionella utrymmen

Vad är kontaktnumret i euklidiska rum med dimension ? Detta problem har endast lösts för (240) och (196 560) [31] [32] . $n>4$ $n=8$ $n=24$
Problemet med den tätaste packningen av bollar i ett dimensionellt euklidiskt utrymme för . För ett tredimensionellt utrymme löstes detta problem 1998: det bevisades att Kepler-hypotesen är giltig. Det befintliga beviset är dock extremt stort och svårt att verifiera [33] . Det är också bevisat att för och gallren, förutom kontaktnumret, också realiserar den tätaste packningen av sfärer. $n$ $n>3$ $n=8$ $n=24$
Borsuks hypotes . Är det möjligt att dela upp en godtycklig kropp med ändlig enhetsdiameter i ett n-dimensionellt euklidiskt rum i högst en del så att diametern på varje del är mindre än 1? Vederlagd för utrymmen med dimension större än 64, bevisad för utrymmen med dimension mindre än 4, för 4 ≤ n ≤ 63 är problemet inte löst. $n+1$

Mekanik

Är det möjligt att välja en sådan (eventuellt icke-tröghets) referensram för varje rörelse av fyra punkter i rymden, så att banorna för alla fyra punkter i den visar sig vara platta konvexa kurvor? [åtta]
Är det sant att för ett tillräckligt stort antal rörliga punkter med intrasslade banor (banor kallas intrasslade om det inte finns någon rymdhomeomorfism under vilken de faller inuti icke-korsande konvexa uppsättningar) i någon referensram, banorna för minst två punkter kommer att visa sig vara intrasslad?
Tolv olösta geometriska frågor relaterade till mekanikens problem är placerade i boken [34] .

Algebra

Omvänd teorem av Galois teori . För varje finit grupp finns det ett algebraiskt talfält som är en förlängning av det rationella talfältet och är isomorft till . $H$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q})$ $H$
Varje ändligt given grupp , vars varje element har en ändlig ordning, är ändlig. För en ändligt genererad grupp (svagare tillstånd) är detta inte sant [35] .
Finns det en enkel grupp som inte är transfinitely superenkel ? [36]
Är periodringen ett fält ?
O. Yu Schmidts problem Finns det icke -kvasicykliska grupper vars alla egentliga undergrupper (andra undergrupper än identitetsgruppen och hela gruppen) är ändliga? [37]
L. S. Pontryagins problem Låt vara en effektiv transitiv bikompakt grupp av transformationer av ett rymdhomeomorft till en dimensionell sfär. Finns det en sådan homeomorf kartläggning av rymden på enhetssfären i det euklidiska -dimensionella rummet, under vilken gruppen övergår i någon grupp av rörelser i sfären ? [38] . $G$ $\Gamma$ $n$ $\Gamma$ $S^{n}$ $(n+1)$ $G$ $S^{n}$
Algebraiska system Finns det icke-triviala varianter av groupoider , ringar och gitter och vilka villkor är uppfyllda i fallet med existens , som kan uppnås på klasserna av alla groupoider, alla ringar eller gitter? [39] .
Algebraiska system Finns det och vilka villkor uppfyller icke-triviala varianter och kvasivarianter av semigrupper med flera framstående element, ringar och gitter, nåbara på klassen av alla sådana semigrupper [39] , i fallet med existens .
Finns det operationer i uppsättningen av grupper som skiljer sig från operationerna för direkt och fri multiplikation och har sina grundläggande egenskaper? [40]
Kommer mängden av alla icke-isomorfa abelska grupper med given kardinalitet att ha kardinalitet ? [41] $M$ ${2}^{M}$
AI Maltsevs problem Finns det en räkningsbar grupp så att varje räkningsbar grupp är isomorf till en av dess undergrupper? [42]
Problemet med att hitta alla hyperkomplexa system med division är inte helt löst [43] .
Flera dussin olösta algebraiska problem finns i boken [44] .
Det finns ingen fullständig beskrivning av uppsättningen giltiga formler på algebraiska system. Det är inte känt om uppsättningen är stängd under komplementet i uppsättningen [45] $S$ $\omega$
Uttalanden om olösta problem i teorin om oändliga Abelska grupper ges i boken [46] $femtio$

Kourovka anteckningsbok

Det är en världsberömd samling av flera tusen olösta problem inom gruppteoriområdet . Den har publicerats sedan 1965 med en frekvens på 2-4 år. Publicerad på ryska och engelska [47] [48] [49] .

Dniester anteckningsbok

Det är en samling av flera hundra olösta problem i teorin om ringar och moduler [50] .

Sverdlovsk anteckningsbok

Det är en samling olösta problem i teorin om semigrupper [51] [52] .

Erlagol Notebook

Det är en samling olösta problem inom algebra och modellteori [53] .

Analys

Riemann-hypotesen . Ligger alla icke-triviala nollor i zeta-funktionen på linjen? [54] $\mathrm{Re}(z)=1/2$
Vad är Mills konstant ? Befintliga beräkningsmetoder bygger på den fortfarande obevisade Riemann-hypotesen.
Hittills är ingenting känt om normaliteten hos siffror som och ; det är inte ens känt vilken av siffrorna 0-9 som förekommer i decimalrepresentationen av talet ett oändligt antal gånger. $\pi$ $e$ $\pi$
Är varje irrationellt algebraiskt tal normalt ? [55]
Är det ett normalt antal ? [56] $\ln 2$
Inte ett enda tal är känt för vilket det skulle bevisas att det geometriska medelvärdet av termerna för dess expansion till en fortsatt bråkdel tenderar till Khinchin-konstanten (förutom de som är artificiellt skapade [57] ), även om det har bevisats att nästan alla reella tal har denna egenskap. Det antas att siffror , Euler-Mascheroni-konstanten , Khinchin-konstanten själv och många andra matematiska konstanter bör ha denna egenskap . $\pi$
Gör serien och [58] Båda serierna har sporadiskt små nämnare, men den första serien konvergerar hypotetiskt runt 30.31 och den andra runt 43. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n}$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?$

Frågor om irrationalitet

Måttet på irrationalitet är inte känt för något av följande tal: Euler-Mascheroni-konstanten , den katalanska konstanten , Brun -konstanten , Mills -konstanten , Khinchin-konstanten , talen Ingen av dem vet ens om det är ett rationellt tal, ett algebraiskt irrationellt eller ett transcendentalt tal [59 ] [60] [61] [62] [63] [64] . $\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi , e^{\pi^2}, 2^e, e^e, e^{e^e}.$
Det är inte känt om och är algebraiskt oberoende . $\pi$ $e$
Det är inte känt om eller är heltal vid något positivt heltal (se tetration ). Det är inte ens känt om det är ett heltal (detta tal har mer än 10 17 siffror av heltalsdelen, och en direkt beräkning är omöjlig). ${^{n}\pi }$ ${^ne}$ $n$ ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$
Det är inte känt om det kan vara ett heltal om det är ett positivt heltal, och är ett positivt rationellt, men inte ett heltal (i vissa fall är svaret negativt) [65] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=1,\,2,\,3$
Det är inte känt om den positiva roten av ekvationen är ett algebraiskt eller transcendentalt tal (även om det är känt att det är irrationellt). ${^3 x}=2, \, x=1{,}476\;684\;33\prickar$
Det är inte känt om den positiva roten av ekvationen är ett rationellt, algebraiskt irrationellt eller transcendentalt tal. Ett liknande problem för tetration av vilken som helst större höjd från valfritt antal större än 1 är också öppet. ${^4 x}=2, \, x=1{,}446\;601\;43\prickar$
Ett exakt mått på irrationalitet är inte känt för vart och ett av följande irrationella tal: [66] . $\pi, \pi^2, \ln 2, \ln 3, \zeta(3)$
Det är inte känt om det första Skewes-talet är ett heltal. $e^{e^{e^{79}}}$
Är värdena för Riemann zeta-funktionen transcendentala för alla naturliga tal ? $\zeta(2n+1)$ $n$
Är värdena för gammafunktionen transcendentala för alla heltal ? Det är känt att Γ(1/2), Γ(1/3), [67] Γ(1/4), [68] och Γ(1/6) är transcendentala. [68] $\Gamma(1/n)$ $n>1$
Är Feigenbaums konstanter transcendenta ?
Är Pells konstant transcendent ? [69]
Är varje oändlig icke-periodisk fortsatt bråkdel med avgränsade termer transcendental?
Finns det T-nummer enligt klassificeringen av K. Mahler? [70] [71]
En lista över flera olösta problem relaterade till Mahlers gissning finns i boken [72] .

Combinatorics

Förekomsten av en Hadamard-matris av ordningsmultipel av 4.
Förekomsten av ett ändligt projektivt plan av naturlig ordning som inte är en potens av ett primtal.
Erdős-Renyi-hypotesen . Om är ett fast heltal , då för från . Här , är matrisens permanenta , är mängden av alla — matriser av ordning c ettor i varje rad och varje kolumn [73] . $k$ $k\geqslant 3$ $\liminf (\mathrm{per}\,(A))^{\frac{1}{n)) > {1}$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $\mathrm{per}\,(A)$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $(0,\; 1)$ $n$ $k$
Ramsey-siffrorna för fallet är nästan outforskade [74] . $N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)$ $t>2$
Problemet med att hitta minimum av permanent i en dubbelstokastisk matris har inte lösts i det allmänna fallet [75] .
Nödvändiga och tillräckliga förhållanden är inte kända under vilka det finns en gemensam transversal för tre familjer av delmängder [76] .

Kombinatorisk geometri

Hadwigers gissning (kombinatorisk geometri) — kan vilken konvex kropp som helst i det dimensionella euklidiska rummet täckas av mindre homotetiska kroppar? [77] $n$ $2^{n}$
En lista över olösta problem inom kombinatorisk geometri finns i boken [78] . $17$
Flera dussintals olösta problem med kombinatorisk geometri finns i boken [79] .

Grafteori

Cazzetta-Haggvists gissning är att en riktad graf medhörn, vars hörn har åtminstonekanter, har en sluten kontur som inte är längre än [80] . $n$ $m$ $\left\lceil \frac{n}{m}\right\rceil$
Hadwigers gissning (grafteori) - varje kromatisk graf är sammandragbar till en komplett graf [81] . $n$ $K_n$
Ulam gissning : [82]
- a) varje graf med fler än två hörn bestäms unikt av en uppsättning grafer, där varje graf från uppsättningen erhålls genom att ta bort en av hörnen på den ursprungliga grafen;
- b) varje graf med fler än tre hörn bestäms unikt av en uppsättning grafer, där varje graf från uppsättningen erhålls genom att ta bort en av hörn på den ursprungliga grafen.
Hararis gissning (en svag form av Ulams gissning) - om en graf har fler än tre kanter, kan den unikt återställas från subgrafer som erhållits genom att ta bort en enda kant [82] .
I vilken kubikgraf som helst kan man välja 6 1-faktorer så att varje kant tillhör exakt två av dem.
Ramachandrans gissning - vilken digraf som helst är -rekonstruerbar [83] . $N$
Återställningsförmodan — om isomorfismklasserna för alla primära subgrafer i någon graf anges, så bestäms isomorfismklassen för denna graf unikt för . $k$ $k \geqslant 3$
Conways trekleförmodan - i vilken trekle som helst (ett nätverk där varannan kanter har en gemensam punkt) är antalet linjer mindre än eller lika med antalet punkter [85] .
Ringel-Kotzig-hypotesen är att alla träd är graciösa .
Förmodan om täckning med dubbla cykler — för alla brygglösa grafer finns det en uppsättning enkla cykler som täcker varje kant av grafen exakt två gånger.
Koenigs problem - vilka villkor är nödvändiga och tillräckliga för att en permutationsgrupp som ges på en uppsättning ska ha en graf med en uppsättning hörn så att [86] $V$ $\Gamma$ $G$ $V$ $AutG=\Gamma$
Ett stort antal olösta problem inom grafteorin finns i artikeln [87] .
Barnetts gissning - varje bikubisk polyedrisk graf är Hamiltonsk .

Knutteori

Finns det en icke-trivial knut vars Jones-polynom är densamma som den för den triviala knuten ?
Vad är antalet enkla knutar med dubbla poäng för ? Ökar denna sekvens strikt? [88] Värdena för ges av sekvensen A002863 i OEIS . $n$ $n>19$ $n<20$

Algoritmteori

Frågor om algoritmisk lösbarhet

En analog till Hilberts 10:e problem för ekvationer av grad 3: finns det en algoritm som tillåter, givet alla diofantiska ekvationer av grad 3, att avgöra om den har lösningar?
Analog av Hilberts tionde problem för ekvationer i rationella tal . Hur tar man reda på från en godtycklig diofantisk ekvation om den är lösbar i rationella (inte nödvändigtvis heltal) tal och om den överhuvudtaget kan vara känd (det vill säga är motsvarande algoritm möjlig)? [89] [90] [91]
Algoritmisk lösbarhet av det döende matrisproblemet för matriser av ordning 2. Finns det en algoritm som gör det möjligt för en given finit uppsättning kvadratmatriser att avgöra om det finns en produkt av alla eller några av dessa matriser (eventuellt med upprepningar) i vissa ordning, vilket ger en nollmatris [92] . $2 gånger 2$
En förlängning av klassen av uttryck för vilka en algoritm är känd som avgör om ett uttryck är lika med noll ( Konstant problem ). För vilka klasser av uttryck är detta problem algoritmiskt olösligt?
Finns det en algoritm som låter dig ta reda på från en heltalsmatris om det finns en grad av den som har noll i det övre högra hörnet? [91]
Frågan om likheten mellan två delar av periodringen . Finns det en algoritm som tillåter, givet två polynomsystem av ojämlikheter för ett ändligt antal variabler med rationella koefficienter, att bestämma om det område som avgränsas av dem i ? ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$

Computational complexity theory

P=NP ?
VP = VNP ? [93]
Är grafens isomorfismproblem -komplett ? [94] $\mathrm {NP}$
Hör problemet med att hitta en primfaktor av ett naturligt tal till klassen P ?
Hör problemet med att känna igen en trivial knut till klassen P?
Bestäm den exakta nedre gränsen för komplexiteten hos heltalsmultiplikationsalgoritmen. Av de kända algoritmerna har Martin Fuhrers algoritm minst komplexitet , exekverande i , där är den itererade logaritmen för . $n \log n\,2^{O(\log^* n)}$ $\log^*$
Bestäm den exakta nedre gränsen för komplexiteten hos matrismultiplikationsalgoritmen. Av de kända algoritmerna har Coppersmith-Winograd-algoritmen minst komplexitet , som körs in [95] Men exponenten måste vara minst 2 (eftersom storleksmatrisen har värden inuti, och alla måste läsas minst en gång för att beräkna det exakta resultatet). $O(n^{2{,}3728639}).$ $n\ gånger n$ $n^{2}$
Icke-triviala nedre och övre gränser för den algebraiska komplexiteten hos delsummor av expansioner av funktioner i en serie är okända, och [96] $e^{x}\sim 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!)}}$ $\ln(1-x)\sim -x-{\frac {x^{2}}{2}}-\ldots -{\frac {x^{n}}{n}}$
Är det möjligt att bevisa en nedre gräns för algebraisk komplexitet för något speciellt oändligt polynom? [96]

Andra problem i teorin om algoritmer

Det flitiga bäverproblemet[97] . Hur många drag kan en (icke-loop) Turingmaskin medtillstånd och ett alfabetpå ett nollfyllt band? Hur många tecken som inte är noll kommer den att skriva ut? Det är känt att det inte finns någon algoritm (och därmed ingen rekursivt axiomatiserbar formell teori) som kan lösa detta problem för alla, att båda funktionerna växer snabbare än någon beräkningsbar funktion , och än så länge är endast värdena för [98] kända . $n$ ${\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;...,\;m\))$ $n$ $n<5$
Finns det en algoritm som känner igen om de är homeomorfa för varje två 3-grenrör som ges av deras triangulering? [91]
Finns det en algoritm som känner igen, genom en godtycklig position i spelet "Life" , om det kommer att "dö ut" (om alla celler så småningom kommer att bli tomma)? [91]
Finns det en fullständighetsteorem för Muchnik-gittret? [91]
Finns det en algoritm som bestämmer avgörbarheten och aritmeticiteten för mängden realiserbara och mängden ovedersägliga propositionsformler? [91]
Finns det algebraiskt korrekta massproblem av varierande komplexitet i vanliga algebraiska system? [91]
Finns det ett algebraiskt system för vilket enhetlig ekvivalens skiljer sig från programekvivalens, eller programekvivalens från problemekvivalens? [91]
Åtta olösta problem i teorin om algoritmer formuleras i boken [99] .

Axiomatisk mängdteori

För närvarande är den vanligaste axiomatiska mängdteorin ZFC - Zermelo-Fraenkel-teorin med valets axiom. Frågan om denna teoris överensstämmelse (och ännu mer, förekomsten av en modell för den) förblir olöst.
Skolem-problemet . Låt oss betrakta en uppsättning funktioner av en naturlig variabel byggd av termer och stängd under addition , multiplikation och exponentiering . För funktioner från denna uppsättning kommer vi att skriva om är nöjd för alla tillräckligt stora . Det är känt att relationen helt ordnar uppsättningen . Vilken ordningsföljd motsvarar denna ordning? (Det är känt att det inte är mindre än och inte mer än den första kritiska ordinalen (Cantors ordinal) ) [ 100 ] [ 101 ] tetration , löstes 2010) [102] [103] . $S$ $n$ $1,n$ $f,\;g$ $f \preccurlyeq g$ $f(n) \leqslant g(n)$ $n$ $\precurlyeq$ $S$ $\varepsilon_{0}$ ${\displaystyle \zeta _{0}=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot )))))))$
Finns det en linjärt ordnad mängd med en ordningstyp som uppfyller villkoren och ? [104] $\alfa$ $\alpha\neq\alpha^2$ $\alpha=\alpha^3$
I Zermelo-Fraenkels mängdlära, utan valets axiom , är det inte känt om det finns vanliga kardinaler stora [105] . $\aleph_{\alpha}$ $\aleph_{0}$
Problemet med singulära kardinaler . För vilka funktioner finns det en Zermelo-Fraenkel-modell , där för alla kardinaler [106] . $G(k)$ $k^{cf(k)} = G(k)$ $k$
Är det sant att om systemet med Zermelo-Fraenkel-axiom tillsammans med valets axiom är konsekvent, så är systemet med Zermelo-Fraenkel-axiom konsekvent, principen om beroende val, och varje uppsättning reella tal är en Lebesgue-mätbar mängd? [107]
Kommer inte antagandet om existensen av sådana kardinaltal att leda till en motsägelse att den kartesiska produkten av m-kompakta rum alltid är m-kompakta. Det är också okänt om det minsta av dessa nummer skulle sammanfalla med det minsta mätbara antalet eller inte [108] . $\mathfrak{m} > \aleph_{0}$
När det gäller kontinuumproblemet är endast Godels sats (kontinuumhypotesen kan inte vederläggas utifrån axiomen för aritmetiken och mängdläran) och Cohens sats (kontinuumhypotesen kan inte bevisas på grundval av aritmetikens och mängdlärans axiom) känd. Det finns ingen fullständig teori om kontinuumproblemet. [109]
Kontinuumproblemet är avgörbart i mängdlärans andra ordningens språk, men dess lösning är inte känd där. [109]
Okänt bevis på konsistensen av euklidisk geometri [110]
Okänt bevis på konsistensen av systemet av reella tal [111]
Finns det mätbara kardinalnummer? [112]

Bevisteori

Vilket är det kortaste oavgörliga påståendet i Peano-arithmetik ? [113] Ett oavgörligt påstående om en teori är ett påstående som varken kan bevisas eller motbevisas i den givna teorin. Bevis på Gödels satser visar hur sådana påståenden kan göras, men de resulterande påståendena är av betydande storlek när de är skrivna på det formella aritmetikens språk.
Formuleringarna av de sex olösta problemen med bevisteorin finns i boken [114]

Beräkningsmatematik

Bestäm den begränsande nivån för approximation av -stegs Runge-Kutta-metoden (ensteg = Euler-metod = , tvåsteg = modifierad Euler-metod = , fyrsteg = klassisk Runge-Kutta-metod = , femsteg = Felberg- metoden = också ). $n$ $Åh)$ $O(h^2)$ $O(h^4)$ $O(h^4)$

Differentialekvationer

Den exakta lösningen av van der Pols ekvation (alias van der Pol-oscillatorn) är okänd: [115] [116]

\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^2 x = 0

Den exakta lösningen av Mathieu-ekvationen är okänd [117]

\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x \cos 2t

Ablowitz-Ramani-Segura-hypotesen. Alla vanliga differentialekvationer härledda från helt integrerbara partiella differentialekvationer har egenskapen Painlevé (positionen för valfri algebraisk, logaritmisk eller väsentlig singularitet av lösningar till ekvationen beror inte på de initiala förhållandena; endast polernas position beror på godtycklig integration konstanter) [118] .
Har ett Liouville-integrerbart Hamiltonian-system en likvärdig formulering när det gäller ett Lax-par, och i så fall hur man konstruerar det? [119]
Det finns ingen allmän teori om partiella differentialekvationer av blandad typ [120] .

Sannolikhetsteori

Nödvändiga och tillräckliga villkor för att tillhöra en oändligt delbar distributionslag för en stokastisk variabel i endimensionella och flerdimensionella fall till klassen av lagar som inte har oupplösliga komponenter är okända [121] .
Den exakta analytiska formeln för den probabilistiska fördelningen av områdena av figurer som bestäms av slumpmässiga räta linjer på planet är okänd [122] .
Cantellis problem : låtochvara oberoende slumpvariabler som har en normalfördelning. är en mätbar icke-negativ funktion. Det är känt att den slumpmässiga variabelnhar en normalfördelning. Följer det av detta att det ärkonstant nästan överallt? [123] $\xi$ $\eta$ $N(0,1)$ $f(x)$ $\xi +f(\xi )\eta$ $f(x)$
Flerdimensionella generaliseringar av Titchmarsh-Polyi-satsen [124] är okända .

Ekvationer för matematisk fysik

Det finns ingen rigorös matematisk motivering för metoden för vägintegration i kvantfältteorin [125] [126] .
Banintegralerna kan endast beräknas för fallet med Gaussiska kvadraturer. I det allmänna fallet är metoden för att beräkna vägintegraler okänd [127] [126] .
Den exakta lösningen av Schrödinger-ekvationen för många-elektronatomer är okänd [128] .
Inom kvantmekaniken, när man löser problemet med spridningen av två strålar av ett hinder, är spridningstvärsnittet oändligt stort [129]
Navier-Stokes ekvationer . Finns det en smidig lösning av Navier-Stokes ekvation i det tredimensionella fallet, med början från en given tidpunkt? [130]
Eulers ekvation . Finns det en jämn lösning av Euler-ekvationen i det tredimensionella fallet, med utgångspunkt från ett givet ögonblick? [131]
Det finns hundratals olösta problem inom hydrodynamik [132] .
Det finns ingen fullständig teori som förklarar ursprunget och utvecklingen av jordens magnetfält [133] .
Jorgens gissning Låt vara en öppen mängd vars komplement har måttet noll. Låt och vara kontinuerlig på och låt Schrödinger-operatören begränsas underifrån och vara i huvudsak självadjoint på . Om , då är också i huvudsak självadjoint på [134] [135] . $M \subset R^{n}$ $V$ $W$ $M$ $-\Delta+V$ $C_{0}^{\infty}(M)$ $W \geqslant V$ $-\Delta+W$ $C_{0}^{\infty}(M)$
Är det möjligt att generalisera systemet med Haag-Kastler axiom genom att använda principen om allmän kovarians istället för principen om invarians med avseende på Poincaré-gruppen ? [126]
Kvantisering av Yang-Mills-fält [136] .
Den exakta formeln för att beräkna Madelung-konstanten är okänd [137] .
Den exakta lösningen av Ising-problemet i det tredimensionella fallet är okänd [138] .
Exakta formler för den repulsiva kraften mellan atomrester i en jonkristall är okända [139] .
Beviset för principen om kosmisk censur är okänt , liksom den exakta formuleringen av villkoren under vilka den är uppfylld [140] .
Det finns ingen fullständig och fullständig teori om magnetosfären av svarta hål [141] .
Den exakta formeln för att beräkna antalet olika tillstånd i ett system är okänd, vars kollaps leder till uppkomsten av ett svart hål med en given massa, rörelsemängd och laddning [142] .
Beviset i det allmänna fallet av "hårlösa satsen" för ett svart hål är okänt [143] .
Det finns ingen generell teori om korrekta randvillkor för generaliserade differentialoperatorer med variabla koefficienter [144] .
Inget generellt bevis är känt för att störningsteoriserien för elektroner i ledningsbandet av metaller konvergerar [145] .
Det är inte möjligt att på ett tillfredsställande sätt beräkna den effektiva massan av elektroner som rör sig i ett magnetfält i metaller längs Fermi-ytan [146] och för elektronvärmekapaciteten [147] .
Det finns ingen känd metod för att beräkna strukturella faktorer för flytande metaller [148] .
Finns det partiella differentialekvationer som skiljer sig från den vanliga vågekvationen, men vars lösningar uppfyller Huygens princip? [149]
Det grundläggande problemet med axiomatisk kvantfältteori . Det finns ingen känd teori som uppfyller alla axiomen för axiomisk kvantfältteorin och som beskriver interagerande fält och en icke-trivial spridningsmatris [150] .
Beskrivningen av klassen av generaliserade funktioner , som uppfyller villkoret för tvåpunkts Whiteman-funktionen [151] : är okänd . $F_{4}$ $\int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{ 2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0$
Beviset för den ergodiska hypotesen för godtyckliga dynamiska system är okänt [152] .
Lösningen på problemet med att matcha lösningar av Boltzmann-ekvationen på båda sidor av stötskiktet enligt Chapman-Enskog-teorin [153] är okänd .
Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för stabiliteten av jämvikten i ett konservativt system har ännu inte hittats [154] .
Det finns inget känt sätt att konsekvent utföra renormaliseringsproceduren baserat på invariant regularisering i operatörens tillvägagångssätt för kvantisering av gravitationsfältet [155] .

Spelteori

Det finns ingen generell matematisk teori om spel som spelas på funktionsutrymmet (eftersom kraften i uppsättningen av verkliga funktioner avsevärt överstiger kontinuumets makt) [156] .
Det finns ingen generell matematisk teori om pseudospel (konfliktsituationer som inte är spel) [156] .
Det finns ingen generell matematisk teori om icke-samarbetande spel av personer för [156] . $n$ $n > 2$
Formuleringarna av olösta problem inom spelteorin finns i boken [157] . $åtta$
Problemet med att konstruera inlärningsalgoritmer för att lösa spel har inte lösts, när elementen i payoff-matrisen inte är konstanta, utan är slumpvariabler, eller okända (blind game) [158] .

Grupprepresentationsteori

Langlandshypotesen . Varje irreducerbar representation av en verklig semisenkel Lie- grupp som uppträder i den diskreta delen av nedbrytningen av en vanlig representation realiseras i rymden - kohomologin av en lämplig kärve på rymden , där är en kompakt Cartan-undergrupp i [159] . $G$ $L^{2}$ $X = G/H$ $H$ $G$

Allmän topologi

Dowker-problemet . Bestäm om varje normalt Hausdorff-utrymme är countably paracompact [160] .
En lista över olösta problem i mängdteoretisk topologi finns i [161] . $13$
Kardinaliteten hos uppsättningar som är komplementära till -uppsättningar är okänd, även i det endimensionella fallet [162] . $A$
Gäller dimensionsteorins huvudsats för kompakta utrymmen : den induktiva dimensionen (dimension enligt Urysohn) är lika med dimensionen definierad med hjälp av lock ? [163]
Mengers gissning Betrakta klassen av alla delmängder av något euklidiskt utrymme eller klassen av alla separerbara metriska utrymmen . Det är inte känt om villkoret för de kohomologiska dimensionerna är uppfyllt: för varje finns det en så kompakt uppsättning att , där . [164] $R^{n}$ $F$ $X\in Q$ ${\bar {X}}\in Q$ $d({\bar {X)))=d(X)$ $d(X)=dim_{G}X$
Flera dussintals olösta frågor om teorin om återdrag finns i boken [165] .
Flera olösta problem inom fyrdimensionell topologi finns i boken [166] .

Linjär algebra

Fréchets problem om determinantens maximum Hitta maximum för determinanten där alla är lika . Endast uppskattningarna [167] är kända . $\Delta _{n}=\det \|\varepsilon _{ij}\|\ (i,\;j=1,\;2,\;\ldots ,\;n),$ $\varepsilon_{ij}$ $\pm 1$ ${\sqrt {n!)}}\leqslant \max \mid \Delta _{n}\mid \leqslant n^{\frac {n}{2}}$

Teori om slumpmässiga processer

Problemet med att bestämma lagen för fördelning av antalet utsläpp av en slumpmässig process i det allmänna fallet har inte en komplett och kompakt lösning [168] . $p(n,\;T)$
Problemet med att bestämma lagen för fördelningen av absoluta maxima för en slumpmässig process har endast lösts för Markov-processer. För andra processer är den exakta lösningen okänd [169] .
Låt partikeln vandra i rymden : den lämnar och gör vid diskreta ögonblick ett enda hopp med sannolikhet till en av de närliggande punkterna. Vad är sannolikheten för att partikelns bana efter stegen aldrig har korsat sig själv? Vad är förväntningarna på avståndet från slutet av en icke-självkorsande bana från ursprunget? [170] ${\displaystyle Z^{n))$ $0$ $1,2,...$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2^{n))))$ $2^{n}$ $k$
Kolmogorovs problem : Det finns en familj av (vanligtvis komplext värderade) integrerbara funktioner. Vilka villkor (effektivt verifierbara) måste ställas på dessa funktioner så att för något slumpmässigt fält vid eller vid dessa funktioner är spektrala tätheter av ordningen, ? [171] $f_{j}(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{j-1}),j\in \left\{2,3,... ,k\right\}$ ${\displaystyle \xi (t)\in D^{(k)))$ $t\in R^{n},\lambda _{j}\in R^{n},i={\bar {1,j-1))$ $t\in Z^{n},\lambda _{i}\in \left[-\pi ,\pi \right],i={\bar {1,j-1))$ $j$ ${\displaystyle j\in \left\{2,3,...,k\right\))$

Funktionsanalys

En lista på 22 olösta problem i teorin om operatorer i ett Banach-utrymme finns i boken [172] .
En lista på 6 olösta problem i teorin om elliptiska operatorer i komplexa analytiska grenrör finns i boken [173] .
Har varje Banach-rum ett oändligt dimensionellt delrum med en ovillkorlig grund? [174]
Boken formulerar olösta problem med funktionsanalys [175] . $30$
Är det möjligt att generalisera Cauchy-Kovalevskaya-satsen till ekvationer i partiella funktionella derivator ? [176]

Teori om dynamiska system

Det är inte känt om ett system med två eller flera stela biljardbollar är ett K-flöde under icke-singulära interaktioner [177] .
Finns det ett universellt scenario för övergången av dynamiska system till kaos? [178]
Är det möjligt att beskriva processen för komplikation av kaos i termer av bifurkationer? [178]

Riemannsk geometri

Hopfs problem Finns ettRiemann-mått med positiv krökning på ett differentierbart grenrör? [179] . $S^{2} \times S^{2}$

Operations Research

Finns det ingen kombinatorisk metod för att lösa linjära heltalsproblem med en polynom (i motsats till exponentiell) kostnadsberäkning? [180] .
Det finns ingen generell teori om algoritmiska optimeringsmetoder, som gör det möjligt att säkerställa accelerationen av konvergens och valet av iterationssteget i det allmänna fallet med flerstegsalgoritmer [181] .
Villkoren för konvergens nästan säkert till domänen för flerstegsanpassning och inlärningsalgoritmer är okända [182] .
Reglerna för att bestämma tidpunkten för att fastställa stationariteten för anpassnings- och inlärningsalgoritmen är okända [182] .
Uppskattningar av beroendet av approximationsnoggrannheten på antalet funktioner och uppskattningar av inlärningstiden för igenkänningsalgoritmer är okända [183 ]
Det finns inga generella metoder för att erhålla opartiska uppskattningar för ett givet optimalitetskriterium i identifieringsproblem [184] .
De allmänna reglerna för att välja ett system av funktioner i filtreringsproblem är okända [185] .
Sambandet mellan förändringshastigheten för yttre påverkan och varaktigheten av filteranpassningsprocessen har inte studerats [185] .
Det finns inga kända sätt att använda a priori information om fördelningarna av slumpvariabler för att bygga adaptiva filter [185] .
Det finns inget känt sätt att tillämpa den adaptiva metoden för accelererad tillförlitlighetstestning [186] .
Det finns ingen allmän teori om nätverksplanering som använder ett adaptivt tillvägagångssätt med otillräcklig a priori-information [187] .
Är det möjligt att implementera en godtycklig probabilistisk operatörsåtgärd med hjälp av någon fysisk anordning? [188]
Metoder för att lösa optimeringsekvationer för kvantteorin för beslutsfattande och uppskattning är okända [189] .
Hur beror uppskattningarnas noggrannhet på antalet observationer i kvantuppskattningsteorin? [189]
En lista över olösta problem i teorin om adaptiva och lärande system finns i artikeln [190] $tjugo$

Algebraisk geometri

En lista på åtta olösta problem inom algebraisk geometri finns i boken [191] .
Birch-Swinnerton-Dyer-hypotesen . Under vilka förhållanden har diofantiska ekvationer i form av algebraiska ekvationer lösningar i heltal och rationella tal? [192]
Hodge hypotes . På alla icke-degenererade projektiva komplexa algebraiska varianter är varje Hodge-klass en rationell linjär kombination av algebraiska cykelklasser [193] .

Automatteori

Är det möjligt att matematiskt formalisera förmågan att självreproducera bikakestrukturer? [194]
Det finns inget känt sätt att avgöra hur komplext ett system (t.ex. en molekyl) måste vara, bildat av delar, för att kunna replikera sig själv och utvecklas med komplikationen av avkomma? [194]
Kan en bikakestruktur ha självreproducerande konfigurationer, men inte raderbara konfigurationer? [195]
Hur kan maskiner fås att reproducera sig själva inte sekventiellt utan parallellt? [195]

Variationskalkyl

Uttalanden om mer olösta problem i variationskalkylen, relaterade till variationer av mängder och funktioner, ges i boken [196] . $tjugo$

Multivariat komplex analys

En uppräkning av olösta problem med multidimensionell komplex analys finns i boken [197] . $9$

Optimal kontroll

En detaljerad diskussion om olösta problem inom optimal kontrollteori finns i boken [198] . $12$
Listan över olösta problem med optimal kontroll av singulära system med distribuerade parametrar finns i boken [199] . $80$

Se även

skotsk bok

Anteckningar

↑ Stuart, 2015 , sid. 37.
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden nummer på Wolfram MathWorld .
↑ Stuart, 2015 , sid. 406.
↑ S.A. Belyaev "Återställa en triangel från givna punkter"
↑ Olöst uppgift 26: Givet en enkel sluten kurva i planet, kan vi alltid hitta fyra punkter på denna kurva som är hörn på en kvadrat? Arkiverad 17 maj 2011 på Wayback Machine Veckans olösta problem Arkiverad 25 juli 2011 på Wayback Machine . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Square Inscribing på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
↑ Olöst problem 33: Finns det en konstant, A, så att varje mängd i area A-planet måste innehålla hörnen på en triangel med area 1? Arkiverad 17 maj 2011 på Wayback Machine Veckans olösta problem Arkiverad 25 juli 2011 på Wayback Machine . MathPro Press.
↑ 1 2 Ulam S. Kapitel III // Olösta matematiska problem. - Vetenskap, 1964.
↑ Olöst problem 22: Finns det en triangel med heltalssidor, medianer och area? Arkiverad 17 maj 2011 på Wayback Machine Veckans olösta problem Arkiverad 25 juli 2011 på Wayback Machine . MathPro Press.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Olöst problem 13: Finns det en punkt i planet som ligger på ett rationellt avstånd från vart och ett av de fyra hörnen i en enhetskvadrat? Arkiverad 17 maj 2011 på Wayback Machine Veckans olösta problem Arkiverad 25 juli 2011 på Wayback Machine . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Shephards gissning på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Fantastiska volymer av polyedrar . Hämtad 20 december 2008. Arkiverad från originalet 29 december 2008. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumscribing på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Thomson problem . Hämtad 19 december 2008. Arkiverad från originalet 20 maj 2009. (obestämd)
↑ Olöst problem 23: Hur ska du lokalisera 13 städer på en sfärisk planet så att minsta avstånd mellan två av dem är så stort som möjligt? Arkiverad 17 maj 2011 på Wayback Machine Veckans olösta problem Arkiverad 25 juli 2011 på Wayback Machine . MathPro Press.
↑ Dekomposition av 2-sfären till domäner med minsta möjliga diameter (nedlänk)
↑ AlonDiskret matematik: metoder och utmaningar 14 mars 2022 på Wayback Machine
↑ Pixelräkning, Mu-Ency vid MROB . Hämtad 21 december 2008. Arkiverad från originalet 10 augusti 2019. (obestämd)
↑ Jeandel, Emmanuel & Rao, Michael (2015), En aperiodisk uppsättning av 11 Wang-plattor, CoRR . (Icke-periodisk uppsättning med 11 brickor med 4 färger som visas.)}
↑ Weisstein, Eric W. Illumination Problem på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Heltalsavstånd . Hämtad 8 september 2010. Arkiverad från originalet 18 november 2010. (obestämd)
↑ Tobias Kreisel, Sascha Kurz, Det finns inbyggda heptagoner, inga tre punkter på en linje, inga fyra på en cirkel Arkiverad 11 juni 2007 på Wayback Machine
↑ Erich Friedman, olösta problem i plan geometri arkiverad 13 juni 2010 på Wayback Machine
↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (Tysk)
↑ Kawohl B. Konvexa uppsättningar av konstant bredd // Oberwolfach-rapporter. - Zürich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6 , nr. 1 . - s. 390-393 .
↑ Anciaux H., Guilfoyle B. Om det tredimensionella Blaschke-Lebesgue-problemet // Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Vol. 139 , nr. 5 . - P. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
↑ Dorogovtsev, 1983 , sid. 96.
↑ Packa lika cirklar på en sfär . Datum för åtkomst: 22 december 2008. Arkiverad från originalet den 20 maj 2009. (obestämd)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Kontaktnummer . Hämtad 20 december 2008. Arkiverad från originalet 13 mars 2012. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Kontaktnummer på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Keplers gissning på Wolfram MathWorld .
↑ Kovalev M.D. Geometriska frågor om kinematik och statik. - Moskva : Lenand, 2019. - 249 sid.
↑ R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners on arXiv
↑ Sharipov, RA (2009), Transfinite normal and composite series of groups, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. - M .: Nauka, 1972. - S. 30.
↑ L.S. Pontryagin. Kontinuerliga grupper. - Nauka, 1972. - 349 sid.
↑ 1 2 A.I. Maltsev. Algebraiska system. - Nauka, 1970. - 299 sid.
↑ Kurosh, Group Theory, 1967 , sid. 424.
↑ Kurosh, Group Theory, 1967 , sid. 426.
↑ Kurosh, Group Theory, 1967 , sid. 429.
↑ Hyperkomplexa tal, 1973 , sid. fyra.
↑ Fria ringar och deras anslutningar, 1975 .
↑ Ershov, 1987 , sid. 110.
↑ Fuchs, 1974 , sid. 47, 88, 116, 134, 158, 159, 186, 210, 242, 243, 292, 318.
↑ Kourovskaya-anteckningsbok (olösta problem med gruppteori) / Redaktörer: M. I. Kargapolov (chefredaktör), Yu. I. Merzlyakov, V. N. Remeslennikov. - 4:e uppl. - Novosibirsk: Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the USSR Academy of Sciences, 1973.
↑ Olösta problem i gruppteori. Kourovskaya anteckningsbok / Komp. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. - 18:e upplagan, tillägg. - Novosibirsk: Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 2014. - 253 s.
↑ Olösta problem i gruppteori. Kourovskaya anteckningsbok / Komp. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. - 19:e upplagan, tillägg. - Novosibirsk: Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 2018. - 248 s.
↑ Dnestr-anteckningsbok. Olösta problem i teorin om ringar och moduler / Komp. V. T. Filippov, V. K. Kharchenko, I. P. Shestakov. - 4:e uppl. - Novosibirsk : Institutet för matematik SB RAS , 1993. - 73 sid.
↑ Sverdlovsk anteckningsbok: lör. olösta problem i teorin om semigrupper. - Sverdlovsk : Ural State University , 1979. - 41 sid.
↑ Sverdlovsk anteckningsbok: lör. olösta problem i teorin om semigrupper. - Sverdlovsk : Ural State University , 1989.
↑ Erlagol anteckningsbok. Utvalda öppna frågor om algebra och modellteori, ställda av deltagarna i Erlagol-konferensskolorna / Comp. A.G. Pinus, E.N. Poroshenko, S.V. Sudoplatov. - Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2018. - 40 sid. — ISBN 978-5-7782-3548-9 . Arkiverad 5 juli 2018 på Wayback Machine
↑ Stuart, 2015 , sid. 225.
↑ Scalable Uncertainty Management: 9th International Conference, SUM 2015, Québec City, QC, Kanada, 16-18 september 2015. Proceedings . — Springer, 2015-09-15. - S. 5. - 427 sid.
↑ Weisstein, Eric W. Naturlig logaritm av 2 på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Thomas Wieting. A Khinchin Sequence (engelska) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2007-11-30. — Vol. 136 , utg. 03 . — S. 815–825 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .
↑ Weisstein, Eric W. Flint Hills Series på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Irrationellt tal (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Pi på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. e på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Några olösta problem i talteorin . Hämtad 12 december 2011. Arkiverad från originalet 19 juli 2010. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Transcendental nummer (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ En introduktion till irrationalitet och transcendensmetoder . Hämtad 12 december 2011. Arkiverad från originalet 17 maj 2013. (obestämd)
↑ Marshall, Ash J., och Tan, Yiren , "Ett rationellt tal av formen a a med ett irrationellt", Mathematical Gazette 96, mars 2012, s. 106-109. . Hämtad 28 april 2013. Arkiverad från originalet 6 maj 2014. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Measure.html Mått på irrationalitet hos Wolfram MathWorld .
↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables ( ISBN 2-7056-1407-9 ). Paris: Hermann, sid. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Arkiverad 13 november 2014 på Wayback Machine
↑ 1 2 Chudnovsky, GV Bidrag till teorin om transcendentala tal . - Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. - ISBN 0-8218-1500-8 . via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Arkiverad 13 november 2014 på Wayback Machine
↑ Weisstein, Eric W. Pells konstant på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
↑ Sprindzhuk V. G. Bevis för Mahlers gissning om måttet på uppsättningen S-nummer // Izv. USSR Academy of Sciences, ser. matta. - 1965. - V. 29, nr 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , sid. åtta.
↑ Sprindzhuk, 1967 , sid. 150-154.
↑ Mink H. Permanenter. — M .: Mir, 1982. — 211 sid.
↑ Rybnikov, 1972 , sid. 96.
↑ Rybnikov, 1972 , sid. 110.
↑ Kapitonova, 2004 , sid. 530.
↑ Boltyansky, 1965 , sid. 47.
↑ Boltyansky, 1965 , sid. 83.
↑ Grünbaum, 1971 , sid. 6.
↑ Caccetta-Häggkvist Conjecture (1978) . Hämtad 10 juli 2011. Arkiverad från originalet 7 juni 2011. (obestämd)
↑ Föreläsningar om grafteori, 1990 , sid. 264.
↑ 1 2 Föreläsningar om grafteori, 1990 , sid. arton.
↑ Föreläsningar om grafteori, 1990 , sid. 286.
↑ Graph Theory, 1988 , sid. 154.
↑ Stuart, 2015 , sid. 407.
↑ Föreläsningar om grafteori, 1990 , sid. 47.
↑ V. G. Vizing Några olösta problem inom grafteorin // Uspekhi Mat Nauk , 23:6(144) (1968), 117–134; rysk matte. Surveys, 23:6 (1968), 125–141
↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
↑ Yuri Matiyasevich, Hilberts tionde problem: Vad gjordes och vad som ska göras Arkiverad 13 juni 2010 på Wayback Machine
↑ Matiyasevich Yu. V. Hilberts tionde problem. - Vetenskap, 1993.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Uspensky V. A. , Semyonov A. L. Algoritmerteori: huvudsakliga upptäckter och tillämpningar. - Vetenskap, 1987.
↑ När är ett par matriser dödliga? . Hämtad 6 maj 2010. Arkiverad från originalet 8 december 2015. (obestämd)
↑ Razborov, 2016 , sid. 24.
↑ Weisstein, Eric W. Grafisk isomorfism på Wolfram MathWorld .
↑ "Även om någon lyckas bevisa en av gissningarna – och därigenom visa att ω = 2 – är det osannolikt att kransproduktens tillvägagångssätt är tillämpbart på de stora matrisproblem som uppstår i praktiken. (...) inmatningsmatriserna måste vara astronomiskt stora för att skillnaden i tid ska vara uppenbar." Le Gall, François (2014), Tensorernas krafter och snabb matrismultiplikation, Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ( ISSAC 2014)
↑ 1 2 Parsing, 2016 , sid. 9.
↑ I. V. Abramov. Teori om automater, språk och beräkningar. - M. , 2003.
↑ OEIS - sekvens A028444 _
↑ Ebbinhouse, 1972 , sid. 245-247.
↑ Transfinita ordinaler och deras beteckningar . Tillträdesdatum: 4 september 2010. Arkiverad från originalet 17 november 2010. (obestämd)
↑ Platsunderhåll . Hämtad 14 februari 2011. Arkiverad från originalet 21 september 2015. (obestämd)
↑ Skolem + Tetration är välordnad (nedlänk)
↑ Ordinalen för Skolem + Tetration är τ0 (nedlänk)
↑ Vaclav Sierpinski . Kardinal och ordningsnummer. - Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1965. (engelska)
↑ Mängdlära och forceringsmetoden, 1973 , sid. 17.
↑ Mängdlära och forceringsmetoden, 1973 , sid. 66.
↑ Mängdlära och forceringsmetoden, 1973 , sid. 81.
↑ Set Theory, 1970 , sid. 324.
↑ 1 2 Yu. I. Manin , The problem of the continuum // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat., 5, VINITI, M., 1975, 5-72
↑ Stoll, 1968 , sid. 156.
↑ Stoll, 1968 , sid. 157.
↑ Allmän Algebra, 1990 , sid. 35.
↑ WolframScience Conference NKS2006 . Hämtad 7 september 2010. Arkiverad från originalet 17 juni 2010. (obestämd)
↑ Kreisel, 1981 , sid. 54, 59, 60, 82.
↑ Tabor M. Kaos och integrerbarhet i olinjär dynamik. - per. från engelska. - M .: "Redaktionell URSS", 2001. - 320 sid. - skjutbana 1000 exemplar — ISBN 5-8360-0192-8 . - kap. 1 "Differentialekvationers dynamik", 1.4 "Linjär stabilitetsanalys", 1.4d "Gränscykler". - Med. 29
↑ Genomsnittsmetod i tillämpade problem, 1986 , sid. 68.
↑ Genomsnittsmetod i tillämpade problem, 1986 , sid. 74.
↑ Solitoner i matematik och fysik, 1989 , sid. 181.
↑ Solitoner i matematik och fysik, 1989 , sid. 310.
↑ Trikomi, 1947 , sid. elva.
↑ Yu. V. Linnik , I. V. Ostrovsky, Expansioner av slumpvariabler och vektorer. - M .: Nauka, 1972. - 479 sidor - kap. X. Olösta frågor
↑ Geometric Probabilities, 1972 , sid. 66.
↑ Dorogovtsev, 1983 , sid. 100.
↑ Dorogovtsev, 1983 , sid. 103.
↑ Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Linjär algebra och geometri. - St. Petersburg: Lan, 2008. - S. 304. - ISBN 978-5-8114-0612-8 .
↑ 1 2 3 F. J. Dyson , Missed Opportunities , Uspekhi Mat . Nauk , 35:1(211) (1980), 171-191
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. - M . : Nauka, 1973. - S. 322.
↑ G. Bethe . Kvantmekanik. - M .: Mir, 1965. - s. 12.
↑ Prigogine I. , Stengers I. Tid, kaos, kvantum. För att lösa tidens paradox. - M .: Redaktionell URSS, 2003. - s. 114, - ISBN 5-354-00268-0 .
↑ Stuart, 2015 , sid. 308.
↑ Stuart, 2015 , sid. 315.
↑ Betyaev S. K. Hydrodynamics: problem and paradoxes Arkivexemplar daterad 16 oktober 2013 på Wayback Machine // UFN , vol. 165, 1995, nr 3, sid. 299-330
↑ Jordens och planeternas inre struktur, 1978 , sid. 80.
↑ Metoder för modern matematisk fysik, 1978 , sid. volym 2, sid. 370.
↑ Schrödinger-operatörer med tillämpningar till kvantmekanik och global geometri, 1990 , sid. 9.
↑ Stuart, 2015 , sid. 348.
↑ Ziman, 1974 , sid. 55.
↑ Ziman, 1974 , sid. 403.
↑ Ziman, 1974 , sid. 152.
↑ Novikov, 1986 , sid. 99.
↑ Novikov, 1986 , sid. 151.
↑ Novikov, 1986 , sid. 267.
↑ Novikov, 1986 , sid. 132.
↑ Mikhlin, 1968 , sid. 553.
↑ Harrison, 1968 , sid. tjugo.
↑ Harrison, 1968 , sid. 144.
↑ Harrison, 1968 , sid. 150.
↑ Harrison, 1968 , sid. 177.
↑ Mostepanenko, 1966 , sid. 86.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 176,213.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 190.
↑ Cercignani, 1978 , sid. 40.
↑ Cercignani, 1978 , sid. 291.
↑ Aizerman, 1980 , sid. 228.
↑ Konoplyova, 1980 , sid. 218.
↑ 1 2 3 McKinsey J. Introduktion till spelteori. - M .: Fizmatlit, 1960. - S. 224
↑ Betydelser för icke-atomära spel, 1977 , sid. 19, 62, 141, 153, 182, 271, 272, 274.
↑ Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 318.
↑ Kirillov A. A. Element i representationsteorin. — M.: Nauka, 1978. — S. 227
↑ Kelly J. L. Allmän topologi. - M .: Nauka, 1968. - S. 232.
↑ Malykhin V. I. Topologi och forcering // Uspekhi Mat . - 1983. - T. 38. - Nr 1 (229). - S. 69-118.
↑ Alexandrov P. S. Introduktion till mängdteori och allmän topologi. - M .: Nauka, 1977. - S. 219.
↑ Gurevich, 1948 , sid. fjorton.
↑ Kuzminov V.I. Homologisk dimensionsteori // Uspekhi Mat . - 1968. - V. 23, nr 5. - P. 5. - URL: http://mi.mathnet.ru/umn5668
↑ Borsuk, 1971 , sid. 257-277.
↑ Mandelbaum, 1981 , sid. 82,178,202,255,263,266.
↑ Dorogovtsev, 1983 , sid. 98.
↑ Emissioner av slumpmässiga processer, 1970 , sid. 243.
↑ Emissioner av slumpmässiga processer, 1970 , sid. 280.
↑ Dorogovtsev, 1983 , sid. 99.
↑ Dorogovtsev, 1983 , sid. 107.
↑ Operatörsteori, 1977 , sid. 272.
↑ Schwartz, 1964 , sid. 177.
↑ Kerin S. G. Funktionsanalys. - M., Nauka , 1972. - sid. 70
↑ Lyons, 1971 , sid. 130-132,255-256,340-341.
↑ Levy, 1967 , sid. 172.
↑ Från existerande till framväxande, 2006 , sid. 57.
↑ 1 2 Icke-linjär dynamik och kaos, 2011 , sid. 151.
↑ Gromol D., Klingenberg V., Meyer V. Riemannsk geometri i allmänhet. - M .: Mir, 1971. - S. 282.
↑ utg. Moiseev N. N. Det nuvarande tillståndet för teorin om operationsforskning. - M .: Nauka, 1979. - S. 289.
↑ Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 55.
↑ 1 2 Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 90.
↑ Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 135.
↑ Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 165.
↑ 1 2 3 Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 198.
↑ Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 257.
↑ Anpassning och lärande i automatiska system, 1968 , sid. 278.
↑ Helström, 1979 , sid. 325.
↑ 1 2 Helström, 1979 , sid. 326.
↑ Tsypkin Ya. Z. Anpassning, inlärning och självinlärning i automatiska system // Automation and Telemechanics . - 1966. - Nr 1. - S. 23-61. — ISSN 0005-2310. — URL: http://mi.mathnet.ru/at10991
↑ Introduktion till schemateori och kvantgrupper, 2012 , sid. 246.
↑ Stuart, 2015 , sid. 360.
↑ Stuart, 2015 , sid. 367.
↑ 1 2 Bellman, 1966 , sid. 56.
↑ 1 2 Bellman, 1966 , sid. 57.
↑ Ivanov, 1975 , sid. 59, 112, 190, 245, 270.
↑ Griffiths, 1976 , sid. 8, 10, 42, 54, 66, 79, 80, 85, 88.
↑ Moiseev, 1975 , sid. 89, 115, 147, 192, 208, 268, 278, 303, 304, 365, 398, 446.
↑ Lyons, 1987 , sid. 152, 257, 334, 357.

Litteratur

Yeh T. Mängdlära och forceringsmetoden. - M . : Mir, 1973. - 147 sid.
Tikhonov V.I. Utsläpp av slumpmässiga processer. — M. : Nauka, 1970. — 392 sid.
ed. Akilov GP Teori om operatörer i funktionella rum. - Novosibirsk: Nauka, 1977. - 392 sid.
Auman R., Shepley L. Betydelser för icke-atomära spel. — M .: Mir, 1977. — 357 sid.
Grebenikov EA Metod för medelvärdesberäkning i tillämpade problem. — M .: Nauka, 1986. — 256 sid.
Prigogine I. Från existerande till framväxande. - M . : KomKniga, 2006. - 296 sid.
Kurosh A.G. Gruppteori . - 3:e uppl. - M . : Nauka, 1967. - 638 sid.
Zharkov VN Jordens och planeternas inre struktur. — M .: Nauka, 1978. — 192 sid.
Newell A. Solitons i matematik och fysik. — M .: Mir, 1989. — 326 sid. — ISBN 5-03-001118-8 .
Tsypkin Ya. Z. Anpassning och lärande i automatiska system. - M. : Nauka, 1968. - 400 sid.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Theory of sets. - M . : Mir, 1970. - 413 sid.
Ulam S. Olösta matematiska problem. — M .: Nauka, 1964. — 168 sid.
Manin Yu. I. Introduktion till teorin om scheman och kvantgrupper. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 sid.
Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkomplexa tal. - M. : Nauka, 1973. - 143 sid.
Emelichev V. A., Melnikov O. I., Sarvanov V. I., Tyshkevich R. I. Föreläsningar om grafteori. - M. : Nauka, 1990. - 384 sid. — ISBN 5-02-013992-0 .
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger operatörer med tillämpningar till kvantmekanik och global geometri. — M .: Mir, 1990. — 408 sid. — ISBN 5-03-001422-5 .
Läs M., Simon B. Metoder för modern matematisk fysik, i 4 volymer - M .: Mir, 1978. - 1000 sid.
Tatt W. Grafteori. — M .: Mir, 1988. — 424 sid.

Kendall M., Moran P. Geometriska sannolikheter. - M . : Nauka, 1972. - 192 sid.
Kon P. Fria ringar och deras anslutningar. - M . : Mir, 1975. - 420 sid.
Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Matematisk logik. — M .: Nauka, 1987. — 336 sid.
Ian Stewart . De största matematiska problemen. — M. : Alpina facklitteratur, 2015. — 460 sid. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Ziman J. Principer för teorin om stela kroppar. - M . : Mir, 1974. - 472 sid.
Helstrom K. Quantum Theory of Hypothesis Testing and Estimation. — M .: Mir, 1979. — 344 sid.
Novikov I. D. , Frolov V. P. Svarta håls fysik. — M .: Nauka, 1986. — 328 sid.
Mikhlin S. G. Kurs i matematisk fysik. — M .: Nauka, 1968. — 575 sid.
Harrison W. Pseudopotentialer i teorin om metaller. - M . : Mir, 1968. - 366 sid.
Bellman R. Matematiska problem i biologi. — M .: Mir, 1966. — 277 sid.
V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Kombinatorisk geometris satser och problem . — M .: Nauka, 1965. — 107 sid.
Tricomi Francesco . På linjära ekvationer av blandad typ. - M. : OGIZ GITTL, 1947. - 190 sid.
Ivanov L. D. Variationer av uppsättningar och funktioner. - M. : Nauka, 1975. - 352 sid.
Mostepanenko A. M., Mostepanenko M. V. Fyrdimensionalitet av rum och tid. - L . : Nauka, 1966. - 189 sid.
Gurevich V., Volman R. Dimensionsteori. - L . : IL, 1948. - 231 sid.
Stoll R. R. Sets. Logik. axiomatiska teorier. - M . : Utbildning, 1968. - 231 sid.
Bogolyubov N. N. , Logunov A. A. , Todorov I. T. Grunderna i det axiomatiska tillvägagångssättet i kvantfältteori. — M .: Nauka, 1969. — 424 sid.
Borsuk K. Theory of rettracts. — M .: Mir, 1971. — 291 sid.
Mandelbaum R. Fyrdimensionell topologi. — M .: Mir, 1981. — 286 sid.
Sprindzhuk VG Mahlers problem i metrisk talteori. - Minsk: Vetenskap och teknik, 1967. - 184 sid.
Griffiths F., King J. Nevanlinna teori och holomorfa kartläggningar av algebraiska varieteter. — M .: Mir, 1976. — 95 sid.
Moiseev NN Element i teorin om optimala system. — M .: Nauka, 1975. — 526 sid.
Cherchinyani K. Teori och tillämpningar av Boltzmann-ekvationen. — M .: Mir, 1978. — 495 sid.
Schwartz L. Komplexa grenrör. Elliptiska ekvationer. - M . : Mir, 1964. - 212 sid.
Kreizel G. Studier i bevisteori. — M .: Mir, 1981. — 289 sid.
Razborov A. A. Algebraisk komplexitet. — M .: MTsNMO , 2016. — 32 sid. - ISBN 978-5-4439-1032-1 .
Grunbaum B. Etuder om kombinatorisk geometri och teori för konvexa kroppar. — M .: Nauka, 1971. — 93 sid.
Brudno A. L. Teori om funktioner för en reell variabel. - M. : Nauka, 1971. - 119 sid.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Icke-linjär dynamik och kaos: grundläggande begrepp. - M. : Librokom, 2011. - 240 sid. - ISBN 978-5-397-01583-7 .
Lions Zh. L. Hantering av singular distribuerade system. — M .: Nauka, 1987. — 368 sid.
ed. Skornyakov L. A. Allmän algebra T. 1. - M. : Nauka, 1990. - 592 sid.
Ebbinhaus GD, Jacobs K., Man FK, Hermes G. Turingmaskiner och rekursiva funktioner. — M .: Mir, 1972. — 262 sid.
Rybnikov K. A. Introduktion till kombinatorisk analys. - Moscow State University, 1972.
Kapitonova Yu. V., Krivoy S. L., Letichevsky A. A. Föreläsningar om diskret matematik. - SPb., BHV-Petersburg, 2004. - 624 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-94157-546-7 .
ed. Dorogovtsev A. Ya. Matematik idag. - Kiev, Vishcha-skolan, 1983. - 192 s. - 3000 exemplar.
Aizerman M.A. Klassisk mekanik. - Nauka, 1980. - 367 sid.
Konopleva N. P. , Popov V. N. Mätfält. - Atomizdat, 1980. - 240 sid.
Fuchs L. Oändliga abelska grupper. - Mir, 1974.
Lions J.L. , Magenes E. Inhomogena gränsproblem och deras tillämpningar. - M .: Mir , 1971. - 386 sid.
Levy P. Funktionsanalyss konkreta problem. — M .: Nauka , 1967. — 509 sid.

Länkar

Öppna Problem Garden
Öppna frågor: Matematik
The Open Problems Project
Öppna Math Problems i Google Directory
Videoklipp om olösta matematiska problem
Olösta problem i talteori, logik och kryptografi

Olösta problem genom disciplin
Astronomi Biologi Kemi Informatik Lingvistik Matte Ekonomi Neurobiologi Fysik Statistik Filosofi Geovetenskap Informationsteori Medicinen