Induktiv dimension

Induktiv dimension är en typ av definition av dimensionen av ett topologiskt utrymme , baserat på observationen att sfärer i det euklidiska rummet har en dimension en mindre.

Det finns två alternativ för att definiera den induktiva dimensionen, de så kallade stora och små induktiva dimensionerna; för utrymme betecknas de vanligtvis och resp. I de flesta topologiska utrymmen som påträffas i applikationer är båda dimensionerna desamma, och de är också lika med Lebesgue-dimensionen . $X$ $\mathrm {Ind} \,X$ $\mathrm {ind} \,X$

Definition

Per definition anses dimensionen för en tom uppsättning vara lika med ; det är $-ett$

\mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1

$\mathrm {ind} \,X$ — den lilla induktiva dimensionen av det topologiska rummet definieras som det minsta antalet så att det för någon punkt och alla dess öppna områden finns en öppen mängd så att , det vill säga den lilla induktiva dimensionen av gränsen inte överstiger och $X$ $n$ $x\i X$ $U$ $W$ $\mathrm {ind} \,\partial W\leq n-1$ $W$ $n-1$

x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,

där betecknar en stängning . ${\bar {W}}$ $W$

$\mathrm {Ind} \,X$ - en stor induktiv dimension definieras på ett liknande sätt: som det minsta antalet så att det för varje sluten uppsättning och någon av dess öppna områden finns en öppen uppsättning , som och $n$ $K\delmängd X$ $U$ $W$ $\mathrm {Ind} \,\partial W\leq n-1$

K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.

Anteckningar

Lebesgue-dimensionen är ett annat sätt att definiera dimensionen av ett topologiskt utrymme; termen "topologisk dimension" används vanligtvis specifikt för Lebesgue-dimensionen; för rymden betecknas det vanligtvis med . $X$ $\dim X$

Egenskaper

$\dim X=0$ om och endast om $\operatorname {Ind} X=0.$
(Urysohns sats) för ett normalrum med en räknebar bas , likheten $X$ $\dim X=\operatörsnamn {Ind} X=\operatörsnamn {ind} X.$

Med andra ord, för separerbara och mätbara utrymmen , sammanfaller båda induktiva dimensionerna med Lebesgue-dimensionen .

För mätbara utrymmen gäller följande ( Miroslav Katetov ) $X$ $\dim X=\operatörsnamn {Ind} X\geq \operatörsnamn {ind} X.$
Om utrymmet är kompakt och Hausdorff då ( P. S. Aleksandrov ) $X$ $\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X\geq \dim X.$
- Båda dessa ojämlikheter kan vara strikta (V.V. Filippov)

Ett separerbart metriskt utrymme tillfredsställer ojämlikheten om och endast om, för varje stängt delrum av utrymmet , varje kontinuerlig karta medger en kontinuerlig förlängning . $X$ $\operatorname {Ind} X\leq n$ $A$ $X$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {S} ^{n))$

Litteratur

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introduktion till dimensionsteorin. Moskva: Nauka, 1973
Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" i Grattan-Guinness, I., red., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier : 844-55.
R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 .

ISBNett3-88538-010-2

VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , som visas i Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volym 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii och LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 .

ISBNett3-540-18178-4

VV Filippov, Om den induktiva dimensionen av produkten av bicompacta , sovjetisk. Matematik. Dokl 13 (1972), nr 1, 250-254.
A.R. Pears, Dimension theory of general spaces , Cambridge University Press (1975).

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
märklig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte