Blandad ekvation

Blandade ekvationer (blandade ekvationer) är en klass av andra ordningens partiella differentialekvationer som är hyperboliska i ett område av det variabla rummet och elliptiska i ett annat. Dessa områden är åtskilda av en linje (i fallet med två oberoende variabler) eller en yta (i fallet med tre eller flera oberoende variabler), vid vars punkter ekvationen är parabolisk eller odefinierad. Denna linje (yta) kallas för typändringslinje (yta) eller degenerationslinje (yta) .

I fallet med två oberoende variabler är degenerationslinjen diskriminantkurvan för den karakteristiska ekvationen. En bred klass av dessa ekvationer kan representeras som: [1]

Jämfört med ekvationer av hyperboliska, elliptiska och paraboliska typer, har teorin om blandade ekvationer en relativt kort historia. Blandade ekvationer med två oberoende variabler undersöktes först systematiskt av de italienska matematikerna F. Tricomi och M. Cibrario . I Sovjetunionen studerades ekvationer av blandad typ av många matematiker, i synnerhet fick de mycket uppmärksamhet i skolorna M. A. Lavrentiev och A. V. Bitsadze . Ekvationer av blandad typ har funnit många tillämpningar, till exempel i problem relaterade till transonisk gasdynamik.

Tricomis ekvation

Det enklaste exemplet på en blandad ekvation är Tricomi-ekvationen (ibland även kallad Euler-Tricomi-ekvationen ):

,

relaterad till den hyperboliska typen i regionen och till den elliptiska typen i regionen. Förändringslinjen för typen av Tricomi-ekvationen sammanfaller med y -axeln , och ekvationen för egenskaper sammanfaller med den så kallade Cibrario-normalformen . Egenskaperna bildar en familj av halvkubiska paraboler som ligger i ett hyperboliskt område med cusp-punkter på typbyteslinjen.

Se även

• Gaz Trikomi

Anteckningar

1. ↑ Trikomi, 1947 , sid. 6.

Litteratur

• Tricomi F. På linjära partiella differentialekvationer av andra ordningen av blandad typ. - M. : OGIZ, 1947. - 191 sid.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivata parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889-906.
• Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, - Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
• Lavrentiev M. A., Bitsadze A. V. Om problemet med ekvationer av blandad typ, Dokl. AN 70:3 (1950), 373–376.
• Bitsadze A. V. Ekvationer av blandad typ, - Vilken utgåva som helst.
• Smirnov M. M. Ekvationer av blandad typ, - Vilken upplaga som helst.
• Kuzmin A. G. Icke-klassiska ekvationer av blandad typ och deras tillämpningar på gasdynamik, Izd. Leningrad State University, 1990.
• FG Tricomi. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivat parziali di tipo misto, Univ. Politec. Torino, Rend. Sem. Matta. 12 (1953), 37-52.
• C. Ferrari, FG Tricomi. Transsonic Aerodynamics, Academic Press, New York, 1968.
• Richard von Mises . Matematisk teori om komprimerbara vätskeflöden, Moskva, 1961.
• Lipman Bers . Matematiska aspekter av subsonisk och transonisk gasdynamik, Surveys in Applied Mathematics. 3. New York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 sid. (1958).