Cibrario normal form

Normalformen av Cibrario är normalformen av en differentialekvation som inte löses med avseende på derivatan i närheten av den enklaste singularpunkten. Namnet föreslogs av V. I. Arnold för att hedra den italienska matematikern Maria Cibrario , som etablerade denna normala form för en klass av ekvationer [1] [2] [3] .

Relaterade definitioner

Singular points

Låt differentialekvationen ha formen

$F(x,y,p)=0,\$ var $p={\frac {dy}{dx}}.$

Funktionen antas vara verklig, jämn klass (eller analytisk ) i helheten av alla tre variabler. De singulära punkterna i en sådan ekvation är punkter i tredimensionellt utrymme med koordinater som ligger på ytan som ges av ekvationen , vid vilka derivatan försvinner, dvs. projektionen av ytan på variabelplanet längs axelns riktning är oregelbunden. I det allmänna fallet bildar uppsättningen av singulära punkter en kurva på ytan, kallad kriminalaren . Projektionen av en kriminant på ett plan kallas en diskriminantkurva , dess punkter kallas också ofta singulära punkter i ekvationen, även om felaktighet är möjlig: när man projicerar olika punkter på ytan kan samma punkt i variabelplanet motsvara [ 1] [4] [5] . $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(x,y,p)$ $F=0$ $F_{p}$ $\pi$ $\{F=0\}$ $x,y$ $sid$ $\{F=0\}$ $(x,y)$ $\pi$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Lyfta ekvationen

Differentialrelationen definierar kontaktplanens fält i rymden . Skärningen av kontaktplanen med planen som tangerar ytan definierar ett riktningsfält på den senare (definierad på alla punkter där kontakt- och tangentplanen inte sammanfaller med varandra). Integralkurvorna för fältet konstruerade på detta sätt är 1-grafer av lösningar till den ursprungliga ekvationen, och deras projektioner på planet är graferna för lösningar [4] [5] $p=dy/dx$ $(x,y,p)$ $pdx-dy=0$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Den beskrivna konstruktionen av studiet av ekvationer som inte är lösta med avseende på derivatan går tillbaka till A. Poincarés tredje memoar "Om kurvor definierade av differentialekvationer" (1885); i modern matematisk litteratur kallas det ofta att lyfta en ekvation till ytan [3] .

Normalformsatsen

De enklaste singularpunkterna i ekvationen är de så kallade reguljära singularpunkterna, där projektionen har en singularitet som kallas Whitney-vecket och kontaktplanet inte berör ytan. Detta motsvarar uppfyllandet av följande villkor vid en given punkt: $F(x,y,p)=0$ $\pi$ $F=0.$

F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.

Teorem . I ett område med en vanlig singularpunkt är en ekvation med en jämn (eller analytisk) funktion jämnt (respektive analytisk) ekvivalent med ekvationen $F(x,y,p)=0$ $F$

p^{2}-x=0,

kallas Cibrario normalform [1] [4] [5] .

År 1932 erhöll Cibrario denna normala form genom att undersöka egenskaperna hos en andra ordningens partiell differentialekvation av blandad typ [2] .

Exempel

Cibrario-normalformen är den karakteristiska ekvationen för Tricomi-ekvationen

$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

tillhörande den elliptiska typen i halvplanet och till den hyperboliska typen i halvplanet . $x<0$ $x>0$

Ekvationen är lätt att integrera: graferna för dess lösningar bildar en familj av halvkubiska paraboler [4] [5] $p^{2}-x=0$

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

fyller halvplanet , vars spetspunkter ligger på diskriminantkurvan - axeln . $x>0$ $y$

De asymptotiska linjerna på en tvådimensionell yta i det euklidiska rymden ser likadana ut i närheten av en typisk parabolisk punkt . Cibrario-normalformen motsvarar också de enklaste egenskaperna hos slow motion-fältet i snabb-långsamma dynamiska system [6] .

Litteratur

Arnold V. I. Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
Arnold V. I. Geometriska metoder i teorin om vanliga differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
Arnol'd V. I., Ilyashenko Yu. S. Ordinarie differentialekvationer, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. regi, 1985, volym 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Theory of bifurcations, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. regi, 1986, volym 5.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivata parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889–906.

Anteckningar

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Ilyashenko Yu. S. Ordinära differentialekvationer, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. riktning, 1985, volym 1. - kap. 1, par. 7.
↑ 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889-906.
↑ 1 2 Remizov A.O. Flerdimensionell Poincaré-konstruktion och singulariteter av lyfta fält för implicita differentialekvationer, CMFD, 19 (2006), 131–170.
↑ 1 2 3 4 Arnold V.I. Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer. - kap. 1, par. fyra.
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. Geometriska metoder i teorin för vanliga differentialekvationer. - kap. 1, par. fyra.
↑ Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurcation Theory, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. regi, 1986, volym 5

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"