Normal form av differentialekvationer

Den normala formen av differentialekvationer är den enklaste ekvivalenta formen av de ursprungliga ekvationerna. Normalformen erhålls med hjälp av speciella substitutioner av beroende och oberoende variabler av problemet för att förenkla strukturen av ekvationer så mycket som möjligt. I matematik är dessa förändringar av variabler relaterade till de infinitesimala transformationerna av Lie-grupper . Inom fysiken återspeglades frågor relaterade till den normala formen i Emmy Noethers teorem .

För första gången formulerades idén om att konstruera en normal form av ekvationer av den enastående franske vetenskapsmannen Henri Poincaré i hans arbete med nya metoder för himlamekanik. Huvudtanken som Poincare uttrycker är inte att med all kraft försöka lösa de ursprungliga ekvationerna, utan att hitta en sådan förändring av variabler som skulle föra ekvationerna till den enklaste, om möjligt, till en linjär form. Genom att använda omvänd ändring av variabler kan du återställa den ursprungliga lösningen. Nyckelfrågan - om det alltid finns en sådan en-till-en-ändring av variabler som resulterar i linjära ekvationer - besvaras negativt i det allmänna fallet. Det visade sig att om systemet har en resonans vid en singulär punkt , så krävs det ingen ersättning i närheten av denna punkt. Ekvationerna som erhölls som ett resultat av normaliserande transformationer fick det korta namnet "normal form".

Exempel på normala former

1. Den normala formen av ett autonomt system av differentialekvationer i närheten av en "icke-singulär" punkt (där vektorfältet som specificeras av detta system i fasrummet är icke- noll): $(x_{1},\ldots,x_{n})$

${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}} =0,$

2. Normal form av degenererade ekvationer av "explosiv instabilitet"

${\frac {dx}{dt}}=x^{2}$

är den ursprungliga formen. Ekvationerna reduceras inte till linjära på grund av egenvärdet noll. Om egenvärdet är noll, så finns det alltid resonans.

3. Normal form av linjära oscillatorekvationer

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$

representeras av ett par linjära ekvationer för komplexa konjugerade variabler

${\frac {dz}{dt}}+iz=0$

och

${\frac {dz^{*}}{dt}}-iz^{*}=0,$

var är den normala koordinaten. $z=x+i{\frac {dx}{dt))$

4. Normal form av den logistiska ekvationen med kvadratisk olinjäritet

${\frac {dx}{dt}}=-x+cx^{2}$

har följande linjära form

${\frac {dy}{dt}}=-y.$

Att det finns en normal koordinat kan verifieras genom direkt substitution $y$

$x=y+{\frac {y}{1+cy)),$

som erhålls som ett resultat av att tillämpa den asymptotiska proceduren för att konstruera en normaliserande transformation.

5. Normal form av ekvationer för en dämpad olinjär oscillator

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\epsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0$

det finns ett par linjära komplexa konjugerade ekvationer

${\frac {dz}{dt}}-(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}-\epsilon )z=0$

och

${\frac {dz^{*}}{dt}}+(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}+\epsilon )z^{*}=0,$

var är den önskade normalkoordinaten. Funktionen är en godtycklig potensserie med avseende på argumentet , utgående från de kvadratiska termerna för expansionen. $z$ $f$ $x$

6. Normal form av olinjära rörelseekvationer i närheten av "sadeln"

${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2});$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{1}(x_{1},x_{2}),$

där och är godtyckliga potensserier som börjar med kvadratiska termer i variabler och , Det finns ett par olinjära ekvationer ${\displaystyle h_{1))$ ${\displaystyle h_{2))$ $x_1$ $x_{2}$

${\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2});$

${\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),$

där och är godtyckliga potensserier med avseende på ett enda argument . I detta fall kan systemet inte reduceras till en linjär normal form på grund av närvaron av resonans . $f$ $g$ ${\displaystyle y_{1}y_{2))$

7. Den normala formen av en ekvation som inte är löst med avseende på derivatan i närheten av den enklaste singularpunkten (d.v.s. den punkt nära vilken ekvationen inte kan lösas unikt med avseende på derivatan) - den så kallade Cibrario normal form

${\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{2}=x,$

Litteratur

Arnold V. I. Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
Arnold V. I. Geometriska metoder i teorin om vanliga differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
Arnol'd V. I., Ilyashenko Yu. S. Ordinarie differentialekvationer, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. regi, 1985, volym 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Theory of bifurcations, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. regi, 1986, volym 5.
Bruno A. D. Lokal metod för olinjär analys av differentialekvationer, Nauka, Moskva, 1979.
Bruno A. D. Kraftgeometri i algebraiska och differentialekvationer, Fizmatlit, Moskva, 1998.
Hartman F. Ordinarie differentialekvationer, - Mir, Moskva, 1970.
Ilyashenko Yu. S., Yakovenko S. Yu. Ändligt jämna normala former av lokala familjer av diffeomorfismer och vektorfält, Uspekhi Mat. Nauk, 1991, 46:1 (277).