Algebraiskt oberoende

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 april 2014; kontroller kräver 3 redigeringar .

Algebraiskt oberoende är ett begrepp inom teorin om fältförlängningar .

Låt en förlängning av fältet . Element kallas algebraiskt oberoende om, för ett godtyckligt icke-identiskt nollpolynom med koefficienter från fältet $L$ $K$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $K$

P(\alpha _{1},\dots,\alpha _{n})\neq 0

Annars kallas elementen algebraiskt beroende. En oändlig uppsättning element kallas algebraiskt oberoende om var och en av dess ändliga delmängder är oberoende, och kallas beroende annars. Definitionen av algebraiskt oberoende kan utvidgas till fallet när är en ring och är dess underring . $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $L$ $K$

Algebraiskt oberoende av kända konstanter

Låt konstanterna och vara kända för att vara transcendentala, men det är inte känt om deras uppsättning är algebraiskt oberoende över . [1] Det är inte ens känt om . [2] Nesterenko bevisade 1996 att: $e$ $\pi$ $\mathbb {Q}$ $\pi +e$

tal och är algebraiskt oberoende över ; [3] $\pi$ $e^{{\pi ))$ $\Gamma (1/4)$ $\mathbb {Q}$
tal och är algebraiskt oberoende över ; $e^{{\pi {\sqrt {3))))$ $\Gamma (1/3)$ $\mathbb {Q}$
för alla positiva heltal är talen algebraiskt oberoende över ; [fyra] $n$ $e^{{\pi {\sqrt {n))))$ $\mathbb {Q}$

Exempel

En delmängd av fältet av reella tal är inte algebraiskt oberoende av fältet eftersom polynomet är icke-trivialt med rationella koefficienter och . $\{{\sqrt {\pi ));2\pi +1\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ $P({\sqrt {\pi )),2\pi +1)=0$

Se även

Lindemann-Weierstrass teorem

Länkar

Chen, Johnny. Algebraically Independent (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Anteckningar

↑ Patrick Morandi. Fält- och Galois-teori . - Springer, 1996. - S. 174. - ISBN 978-0-387-94753-2 . Arkiverad 8 oktober 2021 på Wayback Machine
↑ Green, Ben (2008), III.41 Irrationella och transcendentala tal, i Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, sid. 222
↑ Manin, Yu. I. Introduktion till modern talteori / Yu. I. Manin, A.A. Panchishkin. — För det andra. - 2007. - Vol. 49. - S. 61. - ISBN 978-3-540-20364-3 .
↑ Nesterenko, Yuri V (1996). "Modulära funktioner och transcendensproblem". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 322 (10): 909-914.