Problem med att flytta soffan

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Problemet med formulerades av den kanadensiske matematikern Moser 1966

Förklaring av problemet

Problemet reduceras till en tvådimensionell idealisering av det vardagliga problemet med att flytta möbler. I tvådimensionellt utrymme, bestäm en stel kropp av det största området A som kan flyttas i en L-formad "korridor" som bildas av "tunnlar" med en bredd på en måttenhet, konvergerande i rät vinkel. Det resulterande värdet på A kallas vanligtvis divankonstanten (i alternativa formuleringar av samma problem är detta objekt en idealisering av ett bord, eller en pråm eller ett fartyg i en L-formad kanal).

Hitta en lösning

Eftersom en halvcirkel med enhetsradie lätt dras runt hörnet av "korridoren", är den nedre gränsen för divankonstanten . Enkel övre gräns $\pi /2\approx 1{,}570796327$ [ hur? ] visar också att soffkonstanten inte överstiger [1] [2] . $2{\sqrt {2}}\approx 2{,}828427124$

John Hammersley ökade uppskattningen avsevärt underifrån tillmed en figur som liknar en telefonlur (se fig.), bestående av två kvartscirklar med enhetsradie på båda sidor av en rektangelmed en halvcirkel med radie borttagen [3] [4 ] [5] . $\pi /2+2/\pi \approx 2{,}207416099$ $1\times 4/\pi$ $2/\pi$

1992 förbättrade Joseph Gerver ytterligare den nedre gränsen för divankonstanten till , sedan förbättrades denna gräns till . Dess figur är begränsad av arton bågar av analytiska kurvor [6] [7] . $2{,}219531669$ $2{,}2195$

I juni 2017 förbättrade Yoav Kallus och Dan Romic den övre gränsen för soffkonstanten till . [åtta] $2{,}37$

Att bestämma det exakta värdet på soffkonstanten är ett öppet problem .

Numerisk optimering

Numerisk optimering gör det möjligt att bestämma divankonstanter för olika standardkurvor.

Hammersley-soffan använder yttre cirklar med enhetsradie, men om denna begränsning tas bort kan soffkonstanten ökas till ~2,21302924761374, medan de yttre kvartscirklarna kommer att ha en radie på ~0,91363796343492 och den totala längden blir ~3,2103638246. Vi kallar en sådan soffa för en generaliserad Hammersley-soffa.

Genom att dela upp den yttre cirkeln i två cirklar, med kontaktpunkten vid en tangent på 45 grader, kan du få en soffkonstant på ~2,21918785. Cirkelns radie vid basen är R1~1,16134066, och dess centrum är förskjutet nedåt med B~0,01740046. Radien på den övre cirkeln är R2~0,71499114, och soffans längd är L~3,22797195. Om vi dessutom optimerar med hänsyn till tangentens lutningsvinkel, vid kontaktpunkten för de yttre cirklarna, kan vi få soffkonstanten ~2,219237814, medan R1~1,19650, B~0,02777, R2~0,72655, tangenten vid 39,86407 grader och L~3,22848.

Anteckningar

↑ Neal R. Wagner. The Sofa Problem (neopr.) // The American Mathematical Monthly . - 1976. - T. 83 . - S. 188-189 . - doi : 10.2307/2977022 .
↑ J. Stewart , Another Fine Math You've Got Me Into , Courier Dover Publications, 2004.
↑ HT Croft, KJ Falconer, RK Guy. Olösta problem i geometri (obestämd) . - Springer, 1994. - P. 198. - ISBN 9780387975061 .
↑ Problem med soffflyttning hos Mathsoft (innehåller Gerwers soffdiagram)
↑ Forum Gambler.ru - Ämne: Korridor, G Arkiverad 14 mars 2012 på Wayback Machine (innehåller ett diagram över Gerver-soffan)
↑ Joseph L. Gerver. Om att flytta en soffa runt ett hörn (neopr.) // Geometriae Dedicata . - 1992. - T. 42 , nr 3 . - S. 267-283 . - doi : 10.1007/BF02414066 .
↑ Weisstein, Eric W. The Couch Moving Problem på Wolfram MathWorld .
↑ Yoav Kallus, Dan Romik. Förbättrade övre gränser i problemet med rörlig soffa // arXiv:1706.06630 [matte]. — 2017-06-21. Arkiverad från originalet den 21 augusti 2017.