Erdős gissningar om aritmetiska progressioner

Erdős gissning om aritmetiska progressioner [1] är ett antagande i additiv kombinatorik , formulerat av Pal Erdős , enligt vilket, om summan av de reciproka positiva naturliga tal av en viss mängd divergerar, så innehåller mängden godtyckligt långa aritmetiska progressioner .

Formellt, om:

\sum _{{n\in A}}{\frac {1}{n}}=\infty

det vill säga ett stort antal $A$ , då innehåller den en aritmetisk progression av vilken som helst förutbestämd längd. $A$

Erdős utlovade vid ett tillfälle ett pris på 3 tusen US-dollar för att bevisa hypotesen [2] , från och med 2008 fastställdes ett pris på 5 tusen US-dollar [3] .

Förhållande med andra påståenden

Konsekvenser av hypotesen

Erdős gissning är en generalisering av Szemeredis sats (eftersom serien divergerar som en harmonisk sådan), såväl som Green-Tao satsen (eftersom summan , där summering är över primtal, också divergerar [4] ). $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn))={\frac {1}{k))\left({\sum \limits _{n =1}^{\infty }{\frac {1}{n))}\right)$ $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$

Påståenden som hypotesen följer av

Med tanke på likvärdigheten med diskrepansen kan Erdős gissning bevisas om det bevisas att . ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k))(4^{t)))))$ $\forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\ varepsilon }}}\right)$

För närvarande har det emellertid endast bevisats [5] att , där , och även, i ett särskilt fall , att . $a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n)))^{c_{k))))\right)$ $c_{k}=2^{-2^{k+9))$ $k=3$ $a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N))}{\log {N))))\right)$

Anteckningar

↑ Hypotesen förväxlas ibland med Erdős-Turan-hypotesen.
↑ Bollobas, Bela . Att bevisa och gissa: Paul Erdős and His Mathematics (engelska) // American Mathematical Monthly : journal. - 1988. - Mars ( vol. 105 , nr 3 ). — S. 233 . — .
↑ Soifer, Alexander (2008); Den matematiska målarboken: Matematik om färgläggning och dess skapares färgglada liv; New York: Springer. sid. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
↑ M. Aigner, G. Ziegler, "Bevis från boken" - M. "Mir", 2006, s. 13
↑ Shkredov, 2006 , sid. 115-116.

Länkar

P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Arkiverad 28 april 2016 på Wayback Machine , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. Nej. 24, sid. 7,
P. Erdős: Problem i talteori och kombinatorik, Proc. Sjätte Manitoba Conf. på Num. Math., Kongressnummer. XVIII (1977), 35-58.
P. Erdős: Om de kombinatoriska problem som jag helst skulle vilja se lösta, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi : 10.1007/BF02579174
I. D. Shkredov. Szemeredis sats och problem om aritmetiska progressioner // Uspekhi Mat. - 2006. - T. 61, nr. 6(372). - S. 111-178. - doi : 10.4213/rm5293 .