Hausdorff-metrik

Hausdorff-måttet är ett naturligt mått som definieras på uppsättningen av alla icke-tomma kompakta delmängder av ett metriskt utrymme . Således förvandlar Hausdorff-måttet uppsättningen av alla icke-tomma kompakta delmängder av ett metriskt utrymme till ett metriskt utrymme.

Tydligen finns det första omnämnandet av detta mått i Hausdorffs bok "The Theory of Sets", den första upplagan från 1914. Två år senare beskrivs samma metrik i Blaschkes Circle and Ball, möjligen oberoende, eftersom den inte innehåller en referens till Hausdorffs bok.

Definition

Låta och vara två icke-tomma kompakta delmängder av ett metriskt utrymme . Då är Hausdorff-avståndet, , mellan och det minsta antalet så att det slutna grannskapet innehåller och även det slutna området innehåller . $X$ $Y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $r$ $r$ $X$ $Y$ $r$ $Y$ $X$

Anteckningar

Med andra ord, om anger avståndet mellan punkter och sedan $|xy|$ $x$ $y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{ {y\in Y}}\inf _{{x\in X}}|xy|\right\}.$

Motsvarande definition: $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {avstånd} _{X}(m)-\mathrm {avstånd} _ {Y}(m)|\,\right\},$

där anger avståndsfunktionen till apparaten .

\mathrm {avstånd} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

X

Egenskaper

Låt beteckna uppsättningen av alla icke-tomma kompakta delmängder av ett metriskt utrymme med Hausdorff-måttet: $F(M)$ $M$

Topologin i rymden är helt definierad av topologi . $F(M)$ $M$
(Blashkes valsats) är kompakt om och endast om . $F(M)$ $M$
$F(M)$ komplett om och endast om komplett. $M$

Variationer och generaliseringar

Ibland betraktas Hausdorff-måttet på uppsättningen av alla slutna delmängder av ett metriskt utrymme, i vilket fall avståndet mellan vissa delmängder kan vara oändligt.
Ibland betraktas Hausdorff-måttet på uppsättningen av alla delmängder av ett metriskt utrymme. I det här fallet är det bara ett pseudo -mått och inte ett mått, eftersom "avståndet" mellan olika delmängder kan vara noll.
I euklidisk geometri tillämpas Hausdorff-metriken ofta upp till kongruens . Låt och vara två kompakta delmängder av det euklidiska rummet, då bestäms det åtminstone av alla rörelser i det euklidiska rummet . Strängt taget är detta mått på utrymmet för kongruensklasser av kompakta delmängder av det euklidiska rummet. $X$ $Y$ $D_{H}(X,\;Y)$ ${\displaystyle d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )))$ $jag$
Gromov-Hausdorff- måttet liknar Hausdorff-måttet upp till kongruens . Det förvandlar uppsättningen (av isometriska klasser) av kompakta metriska utrymmen till ett metriskt utrymme.

Anteckningar

Litteratur

Blaschke . Cirkel och boll . - M . : Nauka, 1967.
Skvortsov V. A. Exempel på metriska utrymmen // Mathematical Education Library Arkiverad 12 januari 2014 på Wayback Machine . - 2001. - Nummer 9.
Hausdorff "Mängdteori"