Waserstein-metrik

Vaserstein-måttet är ett naturligt mått på utrymmet för sannolikhetsmått i ett metriskt utrymme .

Intuitivt, om varje mått mäter fördelningen av "jord" över det metriska utrymmet M , då mäter Waserstein-avståndet minimikostnaden för att omvandla en jordfördelning till en annan, i det enklaste fallet antas det att kostnaden är direkt proportionell mot mängd jord och sträckan över vilken den måste släpas.

Namnet "Vaserstein metrisk" föreslogs av Dobrushin 1970, för att hedra Leonid Vaserstein ( född Leonid Vaseršteĭn ), som övervägde det 1969.

Definition

Låt ( M , d ) vara ett metriskt utrymme där varje sannolikhetsmått på M är ett radonmått .

För p ≥ 1, låt P p ( M ) beteckna mängden av alla sannolikhetsmått μ på M med ändligt p - :te moment : det vill säga för någon (och därmed för vilken som helst) punkt x 0 i M har vi

\int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .

Då definieras den p -te Vaserstein-metriken W p ( μ , ν ) mellan två sannolikhetsmått μ och ν i P p ( M ) som

W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\ gånger M}d(x, y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},

där Γ( μ , ν ) anger mängden av alla mått över M × M med marginella (partiella) fördelningar μ och ν för den första respektive andra parametrarna. (Mängden mått Γ( μ , ν ) kallas också mängden av alla parningar av μ med ν .)

Egenskaper

Konvergens i detta mått är ekvivalent med den svaga konvergensen av mått plus konvergensen för det första p - :e ögonblicket. $W_{p}$

Den dubbla definitionen av W 1 är ett speciellt fall av Kantorovich -Rubinshteins dualitetssats (1958): om μ och ν har begränsat stöd, då $W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right \},$

där supremum tas över alla 1 - Lipschitz funktioner f .

För vilken p ≥ 1 som helst är ett metriskt utrymme ( P p ( M ), Wp ) separerbart och komplett om ( M , d ) är separerbart och komplett [1] .

Se även

Transportuppgift

Anteckningar

↑ Bogachev, VI; Kolesnikov, AV Monge-Kantorovich-problemet: prestationer, kopplingar och perspektiv // Advances in Mathematical Sciences . - RAS . — Vol. 67 . - P. 785-890 . - doi : 10.1070/RM2012v067n05ABEH004808 .

Litteratur

Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix . Variationsformuleringen av Fokker-Planck-ekvationen // SIAM J. Math. Anal. : journal. - 1998. - Vol. 29 , nr. 1 . - S. 1-17 (elektronisk) . — ISSN 0036-1410 . - doi : 10.1137/S0036141096303359 .
Rüschendorf, L. (2001), "Wasserstein metrisk" , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4