Internt mått

Ett internt mått är ett mått i rymden , definierat med hjälp av längdfunktionen, som infimum av längderna på alla banor (kurvor) som förbinder ett givet punkterpar.

Definitioner

Låt ett topologiskt utrymme ges och en klass av några tillåtna vägar väljas som finns i uppsättningen av alla kontinuerliga vägar i . $X$ $\Gamma$ $X$

En längdfunktion ges på utrymmet om en funktion ges på mängden som associerar var och en med ett värde (icke-negativt tal eller oändlighet), vilket kallas längden på banan . $X$ $\Gamma$ $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ $\gamma \in \Gamma$ $L(\gamma )$ $\gamma$

En måttenhet på rymden kallas intern om för två punkter avståndet mellan dem bestäms av formeln där infinum tas över alla tillåtna banor som förbinder punkterna . $\rho$ $X$ $x,y\i X$ $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ $x,y\i X$

Relaterade definitioner

Låt vara två godtyckliga punkter i ett metriskt utrymme och vara ett godtyckligt positivt tal. En punkt kallas deras mittpunkt if $x,y\i X$ $\rho ,X$ $\varepsilon$ $z_{\epsilon }\in X$ $\varepsilon$ $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2))\rho (x,y)+\varepsilon .$

Ett metriskt utrymme kallas geodesiskt om två punkter kan förenas med en kortaste väg . $(X,\rho)$ $X$

Egenskaper

Om är ett mellanslag med en inneboende måttenhet, så för två punkter och vilken som helst finns deras -mitten . I fallet när det metriska utrymmet är komplett , sker det omvända påståendet också: om det för två punkter och någon finns deras -mitt , då är detta mått internt. $(X,\rho)$ $x,y\i X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $(X,\rho)$ $x,y\i X$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$
Ett komplett metriskt utrymme med inneboende metriskt har följande egenskap: för två godtyckliga punkter och det finns en längdkurva som förbinder punkterna och . Dessutom, i ett komplett metriskt utrymme med inneboende metrik, sammanfaller längden av en kortaste kurva med avståndet mellan dess ändar. $(X,\rho)$ $x,y\i X$ $\varepsilon >0$ $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ $x$ $y$
Hopf-Rinows sats : Om det är ett lokalt kompakt komplett metriskt utrymme med inneboende metrisk, så kan vilka två punkter som helst kopplas samman med en kortaste väg. Dessutom är utrymmet begränsat kompakt (det vill säga alla avgränsade slutna delmängder är kompakta ). $(X,\rho)$ $X$ $X$ $X$

Se även

Litteratur

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. , Metrisk geometrikurs. - Moskva-Izhevsk, Institutet för datorforskning, 2004. ISBN 5-93972-300-4