Hopf-Rinows teorem

Hopf-Rinows teorem är ett teorem i differentialgeometri , bevisat av Heinz Hopf och hans elev Willy Rinov . Senast publicerad 1931 [1] .

Formulering

För en vägkopplad Riemann-grenrör är följande påståenden likvärdiga: $M$

$M$ är komplett (det vill säga det Riemannska grenröret är komplett som ett metriskt utrymme );
för varje punkt definieras den exponentiella mappningen på allt (där är tangentutrymmet till vid punkten ); $p\in M$ $\exp _{p}:T_{p}\to M$ $T_{p}$ $T_{p}$ $M$ $sid$
varje uppsättning avgränsad och stängd är kompakt . $M$

Alla två punkter och i en linjärt ansluten komplett Riemann-grenrör kan förbindas med en geodetisk längd lika med avståndet mellan och ; $sid$ $q$ $sid$ $q$
Vilken geodetisk som helst i en vägkopplad komplett Riemann-grenrör kan förlängas på obestämd tid.

Hopf-Rinow-satsen är sant för utrymmen med inneboende metrisk , inte nödvändigtvis Riemannian (till exempel Finsler ) [2] : om är ett lokalt kompakt komplett metriskt utrymme med inneboende metriskt , då är varje sluten avgränsad uppsättning in kompakt. I synnerhet kan två punkter i rymden kopplas samman med en kortaste väg. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $X$
- Detta påstående har generaliserats till fallet med icke-symmetriska mått. [fyra]

Hopf-Rinow-satsen är inte sann i det oändliga dimensionella fallet [5] , liksom i fallet med pseudo-Riemannska grenrör [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (tyska) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , Nr. 1 . - S. 209-225 . - doi : 10.1007/BF01601813 .
↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrisk geometrikurs. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . sats 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz Kurzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; översatt i Cohn-Vossen, S. E. "Om kortaste vägars existens." Några frågor om differentialgeometri i allmänhet. Moskva: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), Hopf–Rinow-satsen är falsk i oändliga dimensioner , The Bulletin of the London Mathematical Society vol. 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , vol. 103, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, sid. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Arkiverad 14 maj 2021 på Wayback Machine .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Riemannsk geometri i allmänhet , övers. från German., M., 1971;
Cohn-Vossen, Några problem i differentialgeometri i allmänhet , Moskva, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Föredrag. Kapitel 5: Riemannska grenrör