Hypermetriskt utrymme

Ett hypermetriskt utrymme är ett metriskt utrymme med vissa ytterligare villkor på måttet.

Definition

Ett hypermetriskt utrymme är ett metriskt utrymme där hypermetriska ojämlikheter gäller. Det är,

\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0

för alla punkter och heltal så att . [ett] $x_1,\dots,x_n$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ $\sum b_{i}=1$

Anteckningar

För och , den hypermetriska ojämlikheten blir den vanliga triangelolikheten $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$ $|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.$

Exempel

$\ell _{1}$ -rymden och dess underrum.
Låt vara en familj av mätbara delmängder av utrymmet med mått . Om måttet på ges som $Y$ $X$ $\mu$ $Y$ $|AB|_{Y}=\mu (A\triangel B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),$

då är ett hypermetriskt utrymme.

Y

Anteckningar

↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.