Algebra av vertexoperatorer

Vertexoperatoralgebror introducerades först av Richard Borcherds 1986 . Viktigt för strängteori , konformfältteori och relaterade fysikområden. Axiomen för algebra för vertexoperatorer är den formella algebraiska tolkningen av vad fysiker kallar kiral algebra .

Vertexoperatoralgebror har visat sig användbara i rent matematiska områden som Langlands Geometric Correspondence och beviset för den monstruösa nonsensförmodan .

Exempel

Gallret Z i R ger en superalgebra av vertexoperatorer som motsvarar en komplex fermion . Detta är ett annat sätt att formulera den bosoniska-fermioniska korrespondensen . Det fermioniska fältet ψ( z ) och dess konjugerade fält ψ † ( z ) ges av:

\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dolk }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{ n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I .

Korrespondens mellan fermioner och ett laddat bosoniskt fält

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I ,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

tar formen

\phi (z)=\;\colon \psi ^{\dolk }(z)\psi (z)\colon

\psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon

där normalexponenterna tolkas som vertexoperatorer.

Gittret √2 Z i R ger vertexoperatorn algebra motsvarande den affina Kac-Moody algebra för SU ( 2) på den första nivån . Det implementeras av fälten

H(z)=\phi(z)\ibland I - I\otimes \phi(z)

E(z)=\psi(z)\ibland \psi^\dolk(z)

F(z)=\psi^\dolk(z)\ibland \psi(z)

Litteratur

Lepowski D., Lee H. Introduktion till vertexoperatoralgebror och deras representationer. - Izhevsk: RHD 2008. - 424 sid. — ISBN 978-5-93972-664-1
Kats VG Vertex algebror för nybörjare / Per. från engelska. — M.: MTsNMO, 2005. — 200 sid. — ISBN 5-94057-124-7 .
Shekhtman VV Vertexalgebror relaterade till algebraiska varianter. — s. 91-104 Arkiverad 8 februari 2013 på Wayback Machine .