Atom Crandall

Crandall-atomen [1] är ett tvåelektronproblem som medger en exakt lösning. Representerar elektroner som rör sig i kärnans harmoniska potential med Coulomb-repulsion mellan dem. Betraktas i [2] .

Definition

Med hjälp av atomenheter , Plancks konstant , massa , kan Hamiltonian som definierar Crandalls atom skrivas som [2] $\hbar=1$ $m=1$

{\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})+{\frac { \omega ^{2}}{2}}({\textbf {r}}_{1}^{2}+{\textbf {r}}_{2}^{2})+{\frac {\ lambda }{({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})^{2}}}

där r 1 , r 2 är koordinaterna för partiklar med index 1 och 2, ω är oscillatorns renhet, λ>0 är elektron-elektroninteraktionskoefficienten. De två första termerna är de kinetiska och potentiella energioperatörerna för varje elektron med index 1 och 2, och den tredje termen är elektron-elektronpotentialen, som har den reciproka kuben av avståndet mellan partiklarna.

Lösning

Statens energi är [2]

E_{n,l,m}^{n',l',m'}={\frac {\omega }{2))\left(5+4n+4n'+2l'+{\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)}}\höger),

och vågfunktionerna

\psi _{n,l,m}^{n',l',m'}(u,v)=e^{-{\frac {1}{2))\omega ({\textbf {u}}^{2}+{\textbf {v}}^{2})}u^{'l}v^{a}L_{n'}^{l'+1/2}(\omega u^{2})L_{n}^{a+1/2}(\omega v^{2})Y_{l',m'}(\theta _{u},\phi _{u}) Y_{l,m}(\theta _{v},\phi _{v}),

där L är Laguerre polynom , Y är sfäriska övertoner och nya koordinater $a={\frac {1}{2}}({\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)))-1),$ ${\textbf {u}}=({\textbf {r}}_{1}+{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}),$ ${\textbf {v}}=({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}.$

Anteckningar

↑ C. A. Downing. Två-elektronatom med en skärmad interaktion // Phys . Varv. A. - 2017. - Vol. 95, . — S. 022105 . - doi : 10.1103/PhysRevA.95.022105 .
↑ 1 2 3 R. Crandall, R. Whitnell och R. Bettega. Exakt löslig två-elektron atommodell (engelska) // Am. J. Phys. - 1984. - Vol. 52 . - s. 438-442 . - doi : 10.1119/1.13650 .