Blockera Hamiltonian

Blocket Hamiltonian är en Hamiltonian som beskriver det kritiska beteendet hos en magnet nära punkten för en andra ordningens fasövergång .

Ämne

En magnet anses vara i närheten av Curie-punkten . Uppförandet av en magnet i denna region bestäms av divergensen av ett antal termodynamiska egenskaper (såsom värmekapacitet , känslighet ). Den termodynamiska hypotesen om likhet förbinder alla divergenser med en obegränsad tillväxt av korrelationslängden . Korrelationslängden mäts direkt med neutronspridningsexperiment. Syftet med denna artikel är att beskriva hur man får en Hamiltonian som bekvämt skulle definiera systemet under förhållanden med ökande korrelationer.

Cellular Hamiltonians

Eftersom de kritiska fenomenen och bildandet av ett kristallgitter och inre atomskal inte på något sätt är förbundna med varandra, kommer vi att betrakta det senare som givet. Om vi antar att de kritiska fenomenen beror på det storskaliga kollektiva beteendet hos elektronspinn , finner vi att vi med all sannolikhet inte behöver känna till bandstrukturen och många andra detaljer - vi behöver bara känna till deras allmänna effekt på interaktion mellan elektronspinn. I detta fall kan ännu starkare förenklingar göras. Betrakta klassiska spinn, en i varje elementär cell i ett givet kristallgitter med en känd spin-spin-interaktion. Vi kommer att försumma kvantnaturen, elektronernas rörelse och många andra detaljer. Exempel på modeller som arbetar med sådana antaganden är Ising-modellen och Heisenberg-modellen .

Vi tilldelar varje cell en snurrvariabel , som fungerar som ett mått på det totala snurrandet av cellen c. Totalt innehåller gittret celler och följaktligen spinnvariabler. Vi kommer att kalla dessa variabler för cellsnurr. Spinenergin är en funktion av spinnvariabler. Detta är cellspin Hamiltonian. Låt oss kalla det cellen Hamiltonian. $\sigma _{{c}}$ $L^{3}$ $L^{3}$ ${\hat {H}}[\sigma ]$

Ising modell

Denna modell kännetecknas av en cell Hamiltonian av formen

${\hat {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\summa _{{c}}\summa _{{r}}'(\sigma _{{c}}- \sigma _{{c+r}})^{2},\qquad (1)$

där summan över r endast tas över de närmaste grannarna till cell c. Spinvariabler kan bara ha två värden . Hamiltonian (1) tillåter det enklaste sättet att återspegla det faktum att energin för identiskt orienterade snurr är mindre än för snurr orienterade på motsatt sätt. J - " byta energi ". $\sigma _{{c}}=\pm 1$

Heisenbergmodellen

Heisenberg-modellen är en generalisering av Ising-modellen till det fall där spinnet kan orienteras på ett godtyckligt sätt. För att beskriva varje snurr behöver vi en vektor

$\sigma _{{c}}=(\sigma _{{1c}},\sigma _{{2c}},\sigma _{{3c}}).\qquad (2)$

För , den vanliga skalära produkten introduceras och utseendet på Hamiltonian (1) bevaras. $\sigma _{{c}}$

XY-modell

XY-modellen är ett fall mellan Ising-modellen och Heisenberg-modellen. Det tjänar till att beskriva magneter med spinn orienterade huvudsakligen i ett plan.

Konstruktion av blocket Hamiltonian, Kadanoff-transformationen

Under förhållanden med en ökning av korrelationslängden är det rimligt att anta att det kritiska beteendet hos en magnet inte kommer att bero på snurr av specifika elementära celler, utan snarare kommer att bestämmas av medelvärdena för snurr i hela regioner av provet som studeras. Låt oss konstruera ett block Hamiltonian beroende på sådana medel. En sådan konstruktion kallas för Kadanoff- transformationen .

Det första sättet

Låt oss konstruera ett block Hamiltonian som beskriver interaktionen mellan blockspinn. För att göra detta delar vi in kristallen i kubiska block med storleken på elementära celler, där d är dimensionen på det utrymme där systemet studeras. För varje block definierar vi blockspinnet som summan av cellsnurr dividerat med . Parametrarna för blocket Hamiltonian sammanfattar de väsentliga detaljerna i systemets beteende på skalan av b gitterkonstanter. $b^{d}$ $b^{d}$

Låt sannolikheten för att hitta ett system med en given fördelning av snurr över celler vara lika med

$P[\sigma ]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma ]/T].\qquad (3)$

Då kommer sannolikheten att hitta ett system med en given fördelning av blockspinn att uttryckas som

$P'[\sigma ]\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,x}}\delta (\sigma _{{i, x}}-b^{{-d}}\summa _{{c}}^{{x}}\sigma _{{i,c}})\prod _{{j,c}}d\sigma _{{j,c}}\equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (4)$

denna formel kan tas som definitionen av blocket Hamiltonian . ${\hat {H'}}[\sigma ]$

$K_{{b}}{\hat {H}}[\sigma ]={\hat {H'}}[\sigma ]\qquad (5)$

Egenskapen hos Kadanoff-transformationen är uppenbar

$K_{{b_{{1}}}}K_{{b_{{2}}}}{\hat {H}}[\sigma ]=K_{{b_{{1}}*b_{{2}} }}{\hat {H}}[\sigma ].\qquad (6)$

Det andra sättet

Betrakta cellen Hamiltonian som en funktion av Fourierkomponenterna ${\hat {H}}[\sigma ]$ $\sigma _{{k}}$

$\sigma _{{c}}=L^{{-d/2}}\sum _{{k}}e^{{ik*c}}\sigma _{{k}},\quad \sigma _ {{k}}=L^{{-d/2}}\sum _{{c}}e^{{-ic*k}}\sigma _{{c}}.\qquad (7)$

Vi introducerar nu blocket Hamiltonian på följande sätt

$P'\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,k>\Lambda }}d\sigma _{{i,k}} \equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (8)$

i detta fall definieras blockspinnet som

$\sigma (x)=L^{{-d/2}}\sum _{{k<\Lambda }}e^{{ik*x}}\sigma _{{k}},\qquad (9)$

och beskriver spin-konfigurationen på skalor upp till $b\sim \Lambda ^{{-1}}$

Notera

Det första och andra sättet att definiera blocket Hamiltonian är inte helt likvärdiga och definierar formellt olika objekt.

Litteratur

1. Ma Sh. Modern teori om kritiska fenomen. — M.: Mir, 1980. — 297 sid.

2. A. N. Vasil'ev, kvantfältsrenormaliseringsgrupp i teorin om kritiskt beteende och stokastisk dynamik. - St. Petersburg: PNPI Publishing House, 1998. - 774 sid. — ISBN 5-86763-122-2