Extern åtgärd

Ett yttre mått är en av generaliseringarna av begreppen längd, area och volym; är en verkligt värderad funktion definierad på alla delmängder av utrymmet som uppfyller flera ytterligare specifikationer.

Historik

Den allmänna teorin om yttre mått utvecklades av Constantine Carathéodory för att ge en grund för teorin om mätbara mängder och räkningsbart additiva mått. Carathéodorys arbete med det yttre måttet fann många tillämpningar i teorin om mätbara mängder (till exempel används det yttre måttet i beviset för Carathéodorys fundamentala förlängningssats), och användes av Hausdorff för att definiera en metrisk invariant som generaliserar dimensionen, nu kallad Hausdorff-dimensionen .

Sifferraden

För en godtycklig delmängd av den reella linjen kan man hitta godtyckligt många olika system som består av ett ändligt eller räknebart antal intervall, vars union innehåller mängden . Vi kallar sådana system beläggningar. Eftersom summan av längderna av intervallen som utgör varje omslag är icke-negativ, är den begränsad nedanför, och därför har uppsättningen av längder för alla omslag en exakt nedre gräns. Detta ansikte, endast beroende på uppsättningen , kallas det yttre måttet : $E$ $E$ $E$

{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\))

Alternativ för att utse en extern åtgärd:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Formell definition

Låt vara en fast uppsättning . Ett yttre mått är en funktion sådan att $X$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ kolon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Låt vara ett mått definierat på ringen . Ett yttre mått som genereras av ett mått är en funktion sådan att $\mu$ $K$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ om det finns minst ett sådant hölje av uppsättningen ; $A$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ annat.

Teorem . Det yttre måttet som genereras av måttet är det yttre måttet. $\mu ^{*}$ $\mu$

$\vartriangleright$ Låt oss kontrollera den första punkten från definitionen av det yttre måttet. . definieras på . $\mu \geqslant 0\Högerpil \mu ^{*}\geqslant 0$ $\mu ^{*}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnothing )=0

Låt oss kontrollera den andra punkten i definitionen. Låt . Om det finns en sådan uppsättning från omslaget att , då gäller ojämlikheten. Låt vidare alla uppsättningar från täckningen vara sådana att . Ta en godtycklig , per definition av den exakta nedre gränsen ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ $En}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\i K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\summa _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\varepsilon }{2^{n))))

Sedan

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Eftersom är en räknebar förening av element i ringen , alltså $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))$ $K$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)) )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n))}{\ bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

\vartriangleleft

Yttre måttegenskaper

Externa måttegenskaper : $\mu ^{*}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Verkligen,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

\vartriangleleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotonitet ).

$\vartriangleright$ Följer från den tidigare fastigheten kl . $n=1$ $\vartriangleleft$

𝜇*-mätbara uppsättningar

Låt vara något externt mått definierat på delmängder av uppsättningen . Ställer sedan så att jämlikheten gäller för alla $\mu ^{*}$ $X$ $E\delmängd X$ $A\delmängd X$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E)))

kallas mätbara. -mätbara mängder bildar en σ-ring, och en funktion definierad på elementen i denna σ-ring är ett mått som genereras av . Om det yttre måttet genereras av något mått definierat på ringen kommer det att vara en förlängning av måttet (där är måttet definierat ovan, genererat av ). $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$ $K$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}$

Om det definieras av någon extern åtgärd som genereras av åtgärden , då om och endast om den externa åtgärden i sig genereras av någon åtgärd . ${\overline {\mu }}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$

Se även

Litteratur

Dorogovtsev A.Ya. Element i den allmänna teorin om mått och integral. Kiev, 1989
Khalmosh P.R. måttteori. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953