Anmärkningsvärda gränser är termer som används i sovjetiska och ryska läroböcker om matematisk analys för att beteckna två välkända matematiska identiteter med att ta gränsen :
Bevis:
Tänk på ensidiga gränser och bevisa att de är lika med 1.
Låt oss överväga fallet . Låt oss rita denna vinkel på enhetscirkeln så att dess vertex sammanfaller med koordinaternas ursprung och ena sidan sammanfaller med axeln . Låta vara skärningspunkten för den andra sidan av vinkeln med enhetscirkeln, och punkten med tangenten till denna cirkel vid punkten . Punkt är projektionen av en punkt på axeln .
Det är uppenbart att:
(ett)(var är sektorområdet )
Eftersom :
Om vi ersätter med (1) får vi:
Sedan kl :
Vi multiplicerar med :
Låt oss gå till gränsen:
Låt oss hitta den vänstra ensidiga gränsen (eftersom funktionen är jämn, är detta inte nödvändigt, det räcker för att bevisa detta för den högra gränsen):
Höger och vänster ensidiga gränser finns och är lika med 1, vilket betyder att själva gränsen är lika med 1.
Konsekvenser:
eller
Bevis på existensen av den andra anmärkningsvärda gränsen:
Bevis för naturvärden av xLåt oss först bevisa satsen för fallet med sekvensen
Enligt Newtons binomialformel :
Förutsatt att vi får:
(ett)När antalet positiva termer på den högra sidan av jämlikheten (1) ökar, ökar antalet. Dessutom, när antalet ökar, minskar antalet , så att värdena ökar. Därför ökar sekvensen , medan
(2).Låt oss visa att det är begränsat. Vi ersätter varje parentes på höger sida av jämlikheten med en, höger sida ökar, vi får ojämlikheten
Vi förstärker den resulterande ojämlikheten, ersätter 3,4,5, ..., som står i bråkens nämnare, med siffran 2:
.Vi hittar summan inom parentes med hjälp av formeln för summan av medlemmarna i en geometrisk progression:
.Därför (3).
Så sekvensen är avgränsad från ovan, medan olikheterna (2) och (3) är uppfyllda: .
Därför, baserat på Weierstrass-satsen (ett kriterium för en sekvenss konvergens), är sekvensen monotont ökande och avgränsad, vilket betyder att den har en gräns, betecknad med bokstaven e . De där.
Genom att veta att den andra anmärkningsvärda gränsen är sann för naturliga värden av x, bevisar vi den andra anmärkningsvärda gränsen för verkliga x, det vill säga vi bevisar att . Tänk på två fall:
1. Låt . Varje x-värde är inneslutet mellan två positiva heltal: , där är heltalsdelen av x.
Av detta följer: därför . Om , då . Därför, enligt gränsen , har vi: . På grundval (på gränsen för en mellanfunktion) av förekomsten av gränser .2 . Låt . Låt oss göra ett byte då
.Uppenbarligen innebär dessa två fall det för verkliga x.
Konsekvenser
Anmärkningsvärda gränser och deras konsekvenser används i avslöjandet av osäkerheter för att hitta andra gränser.