Rabatterat värde

Diskonterat (nuvarande, nuvärde) - en uppskattning av värdet (nuvarande kontantekvivalent) av det framtida betalningsflödet baserat på det olika värdet av pengar som tas emot vid olika tidpunkter ( begreppet pengars tidsvärde ). En summa pengar som tas emot idag har vanligtvis ett högre värde än samma summa som tas emot i framtiden. Detta beror på att pengar som tas emot idag kan generera inkomster i framtiden efter sin investering. Dessutom sjunker de pengar som tas emot i framtiden i form av inflation (för samma belopp i framtiden kan du köpa en mindre mängd varor och tjänster). Det finns också andra faktorer som minskar kostnaden för framtida betalningar. Skillnaden mellan olika summor uttrycks numeriskt i diskonteringsräntan .

Det diskonterade värdet av ett framtida belopp är lika med den summa pengar som, om den investeras nu (med en avkastning lika med diskonteringsräntan ), i framtiden (samtidigt) beloppet kommer att tas emot . Det diskonterade värdet av en betalningsström är lika med summan av de diskonterade värdena för de individuella betalningarna som ingår i denna ström. Det är faktiskt lika med det diskonterade värdet av det framtida värdet av kassaflödet (det belopp som kommer att erhållas i framtiden om kassaflödet investeras vid tidpunkten för mottagandet av betalningar till diskonteringsräntan). $X$ $X$

Nuvärdet används i stor utsträckning inom ekonomi och finans som ett verktyg för att jämföra betalningsflöden som tas emot vid olika tidpunkter. Nuvärdesmodellen låter dig bestämma hur mycket finansiell investering en investerare är villig att göra för att få ett givet kassaflöde. Nuvärdet av den framtida betalningsströmmen är en funktion av diskonteringsräntan, som kan bestämmas beroende på:

avkastning på alternativa investeringar;
kostnaden för att attrahera (låna) medel;
inflation ;
den period efter vilken det framtida betalningsflödet förväntas;
risken förknippad med en given framtida betalningsström;
andra faktorer.

Nuvärdestalet används som underlag för beräkning av amortering av finansiella lån.

Praktisk förklaring

Pengarnas värde förändras över tid. 100 rubel som tas emot efter fem år har ett annat (i de flesta fall mindre) värde än 100 rubel som är tillgängliga. Tillgängliga medel kan placeras i en bankdeposition eller något annat investeringsinstrument som ger ränteintäkter . Det är 100 rubel. idag, ge 100 rubel. plus ränteintäkter efter fem år. Dessutom för de tillgängliga 100 rubel. du kan köpa en produkt som om fem år kommer att ha ett högre pris på grund av inflationen. Därför 100 rubel. om fem år kommer de inte att få köpa samma produkt. I det här exemplet låter indikatorn för rabatterat värde dig beräkna hur mycket 100 rubel är värda idag, vilket kommer att tas emot om fem år.

Ränteackumulering och diskontering

Låt en summa pengar investeras i en takt per tidsenhet (dag, månad, kvartal, år). Det antas att ränta periodiseras och aktiveras i varje tidsenhet och faktiskt återinvesteras. Sedan, vid en framtida tidpunkt , kommer beloppet att tas emot , beräknat med formeln för sammansatt ränta: $PV$ $i$ $t$ $FV_{t}$

{\displaystyle FV_{t}=PV(1+i)^{t))

Följaktligen, om en summa pengar ges för någon framtida tidpunkt , är det möjligt att beräkna det belopp som måste investeras i en takt för att få vid denna tidpunkt, enligt följande: $FV_{t}$ $t$ $PV$ $i$ $FV_{t}$

PV=FV_{t}(1+i)^{-t}\,={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

Värdet kallas det diskonterade (givna, aktuella) värdet av det framtida beloppet , och räntan är diskonteringsräntan . Själva operationen att hitta nuvärdet av det framtida beloppet kallas diskontering . $PV$ $FV_{t}$ $i$

I det allmänna fallet kan summan reduceras till vilken tidpunkt som helst (inte bara till den nuvarande):

$PV_{t_{0}}={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t-t_{0}}}}$

Att föra olika belopp till samma tidpunkt gör dem jämförbara (motsvarande) när det gäller begreppet pengars tidsvärde . Det antas att det är möjligt att investera vilket belopp som helst i något instrument (till exempel en bankinsättning) med en avkastning på . Instrumentets karaktär är inte signifikant, endast avkastningen vid jämförbar risk har betydelse. Om inflationen används som värde är det investeringar i varor och tjänster som blir dyrare. Det kan vara kostnaden för att locka (låna) pengar. $i$ $i$ $i$

Exempel

Om beloppet på 121 rubel förväntas efter 1 år, med en diskonteringsränta på 10% per år, kommer det diskonterade värdet att vara lika med rubel. Om samma belopp förväntas först efter två år, är nuvärdet Rs. $121/(1+0{,}1)=110$ $121/(1+0{,}1)^{2}=121/1{,}21=100$

I kalkylblad inkluderar finansiella funktioner en funktion för att beräkna nuvärdet. OpenOffice.org Calc använder PV-funktionen för att beräkna nuvärdet av olika typer av betalningar.

Diskonterat värde av kassaflöden

Kassaflöde

Kassaflöde är den tidsfördelade rörelsen av kontanter. I många fall (inlåning, lån, värdepapper etc.) är kassaflödet en tidsbestämd uppsättning penningbelopp (betalningar) - detta är det så kallade diskreta kassaflödet eller betalningsflödet . Således flödet av betalningar , där är betalningen som görs vid tidpunkten , . I det här fallet, formellt, kan n också vara oändlig (ett oändligt flöde av betalningar). Om betalningar görs med jämna mellanrum, så kallas ibland en sådan ström av betalningar för en finansiell hyra. En livränta med konstant utbetalning kallas livränta (i vissa källor är finansiell livränta och livränta likvärdiga begrepp). $CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})$ ${\displaystyle CF_{k))$ $t_k$ $k=1..n$

I vissa fall kan betalningsfrekvensen vara så stor att kassaflödet kan anses vara kontinuerligt . I synnerhet är detta fallet för kassaflöden från företagens ordinarie verksamhet , flöden från investeringsprojekt etc. Formellt kan man för kontinuerliga flöden införa flödestäthetsfunktionen . Men i praktiken ersätts kontinuerlig tid av diskret tid. Den analyserade perioden är nämligen uppdelad i lika perioder (månad, kvartal, år) och varje period får ett löpnummer (detta är diskret tid). Då är kassaflödet för varje sådan period faktiskt en betalning vid en diskret tidpunkt som motsvarar denna period. Således reduceras det kontinuerliga flödet, mer exakt modellerat som ett diskret flöde (betalningsflöde) beskrivet ovan. Ofta tolkas detta också som betalningar som görs i slutet av den aktuella perioden - detta är det så kallade postnumerando -flödet . I vissa fall behandlas flöden som betalningar i början av varje period - prenumerando- flödet . $c(t)$ ${\displaystyle CF_{t))$

Således kan vi anta att kassaflödet CF alltid ges av en ordnad uppsättning penningbelopp - delar av kassaflödet (betalningar). ${\displaystyle CF_{t))$

Nuvärdet av betalningsströmmen

Det diskonterade värdet av betalningsflödet , där är betalningen som görs vid tidpunkten , är lika med summan av de diskonterade värdena för var och en av komponenterna i flödet: $CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})$ ${\displaystyle CF_{k))$ $t_k$ $k=1..n$

PV=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}\,}

Formel härledning

Betalningsflödet kommer att delas upp i den första och resten . Låt oss beteckna värdet av det kvarvarande kassaflödet reducerat till tidpunkten för den första betalningen . Summorna och refererar till samma tidpunkt och kan reduceras till det aktuella ögonblicket genom att dividera med $CF_{1}$ $(CF_{2},CF_{3},...)$ $PV_{1}^{*}$ $CF_{1}$ $PV_{1}^{*}$ $(1+i)^{t_{1))$

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {PV_{1}^{*}}{(1+ i)^{t_{1}}}}}$

På samma sätt kan vi dela upp restflödet i en betalning och det återstående flödet efter och få $CF_{2}$ $t_{2}$

$PV_{1}^{*}={\frac {CF_{2}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}+{\frac {PV_{2} ^{*}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}$

Genom att ersätta detta med den första formeln får vi

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {CF_{2}}{(1+i)^{ t_{2))))+{\frac {PV_{2}^{*}}{(1+i)^{t_{2}}}}$

Fortsätter vi på liknande sätt och vidare till den sista betalningen, får vi slutligen formeln för det diskonterade värdet av hela kassaflödet

$PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}$

Tolkning

När du investerar beloppet för perioden fram till vadet kommer beloppet så småningom att tas emot: $PV$ ${\displaystyle t>=t_{n))$ $i$

$FV=PV*(1+i)^{t}=\sum _{k=1}^{n}CF_{k}(1+i)^{t-t_{k))$

Detta belopp är alltså lika med det belopp som kommer att erhållas vid samma ögonblick om enskilda delar av flödet investeras sekventiellt i samma takt fram till tidpunkten t. Sålunda är nuvärdet av kassaflödet lika med nuvärdet av det ackumulerade beloppet av detta flöde.

Om betalningar görs med jämna mellanrum kan formeln skrivas utan ett extra betalningsnummerindex . Tid och kommer helt enkelt att representera betalningsnumret: $k$ $t$

{\displaystyle PV=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+i)^{t))))

Det bör noteras att i dessa formler mäts tiden i enheter för perioden för diskonteringsräntan i . Vanligtvis ges kursen årligen och tiden kan anges i dagar, månader, kvartal etc. I det här fallet ska förhållandet mellan tid i givna enheter och årets längd i samma enheter användas som tid (t.ex. , om betalningen förfaller inom ett kvartal, då är 0,25 år). Om betalningar görs med jämna mellanrum kan du räkna om räntan för denna period med hjälp av formeln för sammansatt ränta: , där T är längden på året i enheter för denna period (till exempel för en månadsbetalning är den 12, för en kvartalsbetalning är 4 osv.). $i'=(1+i)^{1/T}-1$

Exempel

Det finns en obligation med ett nominellt värde på 1000 rubel med en löptid på 1 år och en kvartalskupong på 20 rubel, vilket motsvarar en kupongränta på 8% per år (20 x 4 / 1000 = 0,08). Ägaren av obligationen får 20 rubel under de tre första kvartalen och 20 rubel och inlösenbeloppet under fjärde kvartalet. Betalningsstrukturen är alltså följande: 20 + 20 + 20 + 1020. Perioderna mellan betalningarna är lika.

Låt oss nu rabattera denna ström av betalningar. Antag att diskonteringsräntan är 6,14 % per år (det är till exempel förväntad inflation eller 5,5 % riskfri ränta plus en riskpremie på 0,64 % för instrument med denna risk - en villkorad siffra för ett exempel). Du kan beräkna kvartalsräntan då vi får cirka 1,5 % per kvartal. Således kommer nuvärdet av denna betalningsström vid en kvartalstakt på 1,5 % att vara lika med $1{,}0614^{1/4}-1$

${\frac {20}{1{,}015}}+{\frac {20}{1{,}015^{2}}}+{\frac {20}{1{,}015^ {3}}}+{\frac {1020}{1{,}015^{4}}}=19{,}704+19{,}413+19{,}126+960{,}995=1019 {,}24$

Detsamma kan beräknas direkt genom årskursen, utan att beräkna kvartalskursen, utan med tiden som bråkdelar av året:

${\frac {20}{1{,}0614^{0{,}25}}}+{\frac {20}{1{,}0614^{0{,}5}}}+{ \frac {20}{1{,}0614^{0{,}75}}}+{\frac {1020}{1{,}0614}}=1019{,}24$

Nuvärdet av vissa kassaflöden

Nuvärdet av en livränta

Om flödet av betalningar är livränta , det vill säga betalningar har samma värde och betalas ut med jämna mellanrum, tar denna formel formen (baserat på den välkända formeln för summan av en geometrisk progression):

PV\,=\,{\frac {CF}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\,= \,CF\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}

var görs en livränta en gång; — diskonteringsränta ; — diskonterat värde av livränta . $CF$ $n$ $i$ $PV$ $CF$

Det diskonterade värdet av evighetslån ( perpetuities )

För en evig livränta, det vill säga med en oändligt stor , blir uttrycket inom hakparenteser i formeln för det diskonterade värdet av livräntan lika med ett, så formeln är ännu mer förenklad: $n$

PV\,=\,{\frac {CF}{i))

Diskonterat värde av betalningar med en konstant tillväxttakt

Om betalningar växer med en konstant tillväxttakt g, beräknas deras diskonterade värde med formeln:

PV\,=\,{CF_{1} \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

var är betalningen under den första perioden, är antalet perioder, är diskonteringsräntan . $CF_{1}$ $n$ $i$

I gränsen (för oändligt stor n) vid , erhålls följande enkla formel ( Gordon-modeller ) : $g<i$

{\displaystyle PV\,=\,{CF_{1} \over ig))

Relaterade begrepp

Nettonuvärde (NPV) eller nettonuvärde (nuvärde, nuvärde) (Nuvärde, NPV) är nuvärdet av framtida intäkter från ett investeringsprojekt minus det (diskonterade) värdet av investeringar i projektet. Karakteriserar investeringsprojektets effektivitet och är ett av kriterierna för att välja investeringsprojekt.

Se även

Rabatterad återbetalningstid

Anteckningar

Litteratur

Shiryaev A. N. Grunderna i stokastisk finansiell matematik. - M . : FAZIS, 1998. - T. 1. Fakta. Modeller. — 512 sid. — ISBN 5-7036-0043-X .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online)