Diskret Abel transformation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Den diskreta Abel-transformen är följande identitet:

\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},

där , är sekvenser , medan och . Denna omvandling fick sitt namn efter den norske matematikern Niels Henrik Abel . I matematisk analys används det för att bevisa Dirichlets konvergenstest . $n\geqslant m\geqslant 1$ $(a_{k}),(b_{k}),(B_{k})$ $(k\in \mathbb {N} )$ ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k))$ $B_{0}=0$

Abeltransformen är den diskreta motsvarigheten till integration av delar och kallas ibland summering av delar .

Bevis

Vi har

{\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\summa _{k=m}^{n}a_{k}(B_{ k}-B_{k-1})=\\&=\summa _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\summa _{k=m}^{n}a_{ k}B_{k-1}=\\&=\summa _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\summa _{k=m-1}^{n-1} a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\summa _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\summa _ {k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m} B_{m-1}-\summa _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}

Q.E.D.