Diffraktion med N slitsar

Diffraktion med N slitsar är ett särskilt problem inom optik, där diffraktion av flera slitsar i en ogenomtränglig skärm beaktas.

Betrakta först den matematiska representationen av Huygensprincipen :

\Psi =\int _{slit}{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,dslit

Betrakta N slitsar i skärmen med lika bredd ( a , , 0) och avstånden d mellan dem längs x′-axeln. Avståndet r från den första luckan ges av: $\infty$

r=z\left(1+{\frac {\left(xx^{\prime }\right)^{2}+y^{{\prime 2))}{z^{2))}\right) ^{{\frac {1}{2}}}

För att generalisera till N luckor, notera att z och y förblir konstanta när x förskjuts med

x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd

På det här sättet,

r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(xx^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2 ))}\right)^{\frac {1}{2}}

och summan över alla N bidrag till amplituden:

\Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^ {\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2} }{2z}}\,dx^{\prime }

Lägger märke till att värdet är litet när man överväger Fraunhofer-diffraktionen, och vi får: ${\frac {k\left(x^{\prime}-jd\right)^{2}}{z}}$ $e^{\frac {-ik\left(x^{\prime}-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1$

$\psi$	$=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\ frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }$
	$=C\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^({\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}} }-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}$
	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}} -e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z))))$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}\summa _{j=1}^ {N-1}e^{ijkd\sin \theta }$

Nu använder vi följande likhet:

\sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.

Genom att ersätta vår ekvation kommer vi fram till uttrycket:

$\psi$	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}\left({\frac {1- e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}\left({\frac {e^ {-iNkd{\frac {\sin \theta }{2))}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2)))){e^{-ikd{\frac {\sin \ theta }{2))}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2))))}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}{\frac {\frac {e^ {-iNkd{\frac {\sin \theta }{2))}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2)))){2i)){\frac {e^{-ikd {\frac {\sin \theta }{2))}-e^{ikd{\frac {\sin \theta}{2)))){2i))}\left(e^{i(N-1 )kd{\frac {\sin \theta }{2))}\right)$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)))e ^{i\vänster(N-1\höger)kd{\frac {\sin \theta }{2))))$

vi sätter k i formen och representerar alla icke-oscillerande konstanter som , som i enkelslitsdiffraktion . Med tanke på att vi får svaret för ljusintensiteten: ${\frac {2\pi }{\lambda ))$ $I_0$ $\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\rangle \ =e^{0}=1$

I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatörsnamn {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right ]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}