Bernoullis differentialekvation

En vanlig differentialekvation av formen:

y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1

kallas Bernoullis ekvation (för eller vi får en inhomogen eller homogen linjär ekvation). $n=0$ $n=1$

At är ett specialfall av Riccati-ekvationen . Uppkallad efter Jacob Bernoulli , som publicerade denna ekvation 1695. $n=2$

Metoden att lösa med hjälp av en ersättning, som reducerar denna ekvation till en linjär, hittades av hans bror Johann Bernoulli 1697. [ett]

Lösningsmetod

Det första sättet

Dividera alla termer i ekvationen med

y^{n},

vi får

{\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).

Göra ett byte

{\displaystyle z=y^{1-n))

och differentiera får vi:

{\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.

Denna ekvation reduceras till en linjär:

{\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

och kan lösas med Lagrangemetoden (konstant variation) eller med integrerande faktormetoden.

Det andra sättet

Låt oss byta ut

y=uv,

sedan:

{\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.

Låt oss välja så $v(x)\inte \equiv 0$

{\dot {v}}+a(x)v=0,

för detta räcker det att lösa ekvationen med separerbara variabler av 1:a ordningen. Efter det, för definitionen, får vi en ekvation - en ekvation med separerbara variabler. $u$ ${\frac {{\dot {u}}}{u^{n}}}=b(x)v^{{n-1}}$

Exempel

Ekvationen

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

dividera med får vi: $y^{2},$

y'y^{{-2}}-{\frac {2}{x}}y^{{-1}}=-x^{2}.

Ändring av variabler

w={\frac {1}{y}}

ger:

w'={\frac {-y'}{y^{2}}},

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.

M(x)=e^{{-2\int {\frac {1}{x}}dx}}=x^{{-2}}.

Vi delar med $M(x)$

w'x^{2}+2xw=x^{4},

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.

Resultat:

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.

Litteratur

A. F. Filippov . Samling av problem om differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
V. V. Stepanov . Förlopp för differentialekvationer, - Vilken utgåva som helst.
Zelikin M. I. Homogena utrymmen och Riccati-ekvationen i variationskalkylen, - Facttorial, Moskva, 1998.

Anteckningar

↑ Zelikin M. I. Homogena utrymmen och Riccati-ekvationen i variationskalkylen, - Facttorial, Moskva, 1998.