Schurs komplement

Schur-komplementet är en kvadratisk matris som erhålls genom att dela upp en kvadratisk matris i fyra delar.

Definition

Låt oss representera en kvadratisk matris i blockform: $A$

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

,

var är matriserna för dimensioner , respektive. ${\displaystyle A_{11},A_{12},A_{21},A_{22))$ $n\ gånger n, n\ gånger m, m\ gånger n, m\ gånger m$

Matrisen kallas Schur-komplementet av matrisen i matrisen [1] . ${\displaystyle \left(A/A_{11}\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12))$ $A_{11}$ $A$

Egenskaper

med Schur-komplementet kan determinanten för matrisen beräknas . Om , då ; $|A|$ $|A_{11}|\neq 0$ $|A|=|A_{11}|\cdot |A/A_{11}|$
Schurs komplement används för att reducera det algoritmiska problemet med matrisinversion till problemet med matrismultiplikation , för vilket det finns många specialiserade snabba algoritmer. [2]

Litteratur

Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid.

A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman. Konstruktion och analys av beräkningsalgoritmer . — M .: Mir, 1979. — 536 sid. Arkiverad 13 januari 2019 på Wayback Machine

Anteckningar

↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. trettio.
↑ Konstruktion och analys av beräkningsalgoritmer, 1979 , sid. 262-263, Lemma 6.5, 6.6, Sats 6.2.