Sitnikovs problem

Sitnikov-problemet är en variant av trekroppsproblemet , uppkallat efter den sovjetiske matematikern Kirill Alexandrovich Sitnikov och som rör rörelsen hos tre kroppar under påverkan av ömsesidig gravitationell attraktion. Ett specialfall av Sitnikov-problemet övervägdes 1911 av den amerikanske vetenskapsmannen William MacMillan, men i modern mening studerades problemet av Sitnikov 1961.

Definition

Systemet består av två huvudkroppar med samma massa som rör sig i en cirkulär eller elliptisk keplerisk bana runt ett gemensamt masscentrum. Den tredje kroppen är mycket mindre än huvudkropparna, dess massa kan betraktas som noll , den rör sig under verkan av huvudkropparna i ett plan vinkelrätt mot planet för huvudkropparnas omloppsbana. Ursprunget för systemets koordinater är i masscentrum. Den totala massan av huvudkropparna , omloppsperioden är , den halvstora axeln för huvudkropparnas omloppsbana . Gravitationskonstanten i det valda enhetssystemet är lika med 1. I detta problem rör sig den tredje kroppen längs en riktning - z-axeln. $\left(m_{1}=m_{2}={\tfrac {m}{2))\right)$ $(m_{3}=0)$ $m=1$ $2\pi$ $a=1$

Rörelseekvation

För att erhålla rörelseekvationerna i fallet med cirkulära banor för huvudkropparna använder vi uttrycket för den totala energin : $\,E$

E={\frac {1}{2}}\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{r}}.

Efter differentiering med avseende på tid har ekvationen formen

{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{r^{3}}}.

Även jämställdheten

r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}.

Därför kan rörelseekvationen representeras som

{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {1+z^{2}}}\right) ^{3}}},

som beskriver det exakt lösbara systemet , eftersom det bara har en frihetsgrad och tillåter en integral av rörelse-energi.

Om huvudkropparna rör sig längs elliptiska banor, har rörelseekvationen formen

{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {\rho (t)^{2}+z^ {2}}}\right)^{3}}},

var är avståndet från huvudkroppen till det gemensamma masscentrumet. I det här fallet har systemet 1,5 frihetsgrader och är kaotiskt. $\rho (t)=\rho (t+2\pi )$

Betydelse

Även om det i verkligheten är nästan omöjligt att upptäcka eller skapa ett sådant system med tre himlakroppar, vilket anses i Sitnikov-problemet, är problemet fortfarande viktigt: även om det är ett enkelt fall av trekroppsproblemet, när man löser problemet kan man stöta på olika egenskaper hos kaotiska system .

Se även

Anteckningar

Litteratur

KA Sitnikov: Förekomsten av oscillerande rörelser i trekroppsproblemen . I: Doklady Akademii Nauk SSSR , 133/1960, s. 303–306, ISSN 0002-3264 (English Translation in Soviet Physics. Doklady. , 5/1960, S. 647–650)
K. Wodnar: Den ursprungliga Sitnikov-artikeln – nya insikter . I: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy , 56/1993, s. 99–101, ISSN 0923-2958 , pdf
D. Hevia, F. Rañada: Kaos i trekroppsproblemet: Sitnikovfallet . I: European Journal of Physics , 17/1996, s. 295–302, ISSN 0143-0807 , pdf
Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Kaos och stabilitet i planetsystem. , Springer, 2005, ISBN 3540282084
J. Moser: "Stable and Random Motion", Princeton Univ. Press, 1973, ISBN 978-0691089102