De tre fångarnas uppgift

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 juni 2019; kontroller kräver 9 redigeringar .

The Three Prisoners Problem är en paradox inom sannolikhetsteorin, först publicerad av Martin Gardner 1959 [1] [2] . Problemet har en gemensam karaktär med Monty Hall-paradoxen och är inte en paradox i ordets snäva bemärkelse.

Formulering

Tre fångar, A, B och C, placeras i isoleringscell och döms till döden. Guvernören väljer slumpmässigt en av dem och benådar honom. Vakten som vaktar fångarna vet vem som blir benådad, men har ingen rätt att säga det. Fånge A ber vakten att berätta för honom namnet på den (andra) fången som definitivt kommer att avrättas: " Om B blir benådad, säg mig att C kommer att avrättas. Om C blir benådad, säg att B kommer att avrättas. benådad Jag slår ett mynt och säger namnet på B eller C. "

Vakten säger till fånge A att fånge B kommer att avrättas. Fånge A är glad att höra detta, eftersom han tror att nu är sannolikheten för hans överlevnad 1/2, och inte 1/3, som det var tidigare. Fånge A berättar i hemlighet för fånge C att B kommer att avrättas. Fånge C är också glad över att höra detta, eftersom han fortfarande tror att Fånge A:s överlevnadssannolikhet är 1/3, och hans överlevnadssannolikhet har ökat till 2/3. Hur kan det vara såhär?

Lösning

Rätt svar är att fånge A inte fick information om sitt eget öde. Fånge A, innan han frågar vakten, uppskattar sina chanser till 1/3, precis som B och C. När vakten säger att B kommer att avrättas, är det samma som sannolikheten att C blir benådad (sannolikhet 1/3) , eller A är benådad (sannolikhet 1/3) och myntet som valde mellan B och C valde B. (Sannolikheten är 1/2; totalt sett är sannolikheten att B heter 1/6 eftersom A är benådad). Därför, med vetskapen om att B kommer att avrättas, uppskattar fånge A chanserna till benådning på detta sätt: hans chanser är nu 1/3, men nu, med vetskapen om att B definitivt kommer att avrättas, är C:s chanser till benådning nu 2/3.

Matematisk formulering

Beteckna och som de händelser som betyder att motsvarande fånge kommer att benådas, och händelsen som innebär att vakten kommer att säga namnet på B. Sedan, med Bayes sats, är sannolikheten att benåda fånge A: $A,B$ $C$ $b$

P(A\mid b)={\frac {P(b\mid A)P(A)}{P(b\mid A)P(A)+P(b\mid B)P(B )+P(b\midt C)P(C)}}=

={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1} {3}}+0\ gånger {\tfrac {1}{3}}+1\ gånger {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.

Intuitiv lösning

Fånge A har 1/3 chans att bli benådad. Att veta vilken av B och C som kommer att exekveras ändrar inte denna chans. Efter att fånge A fått veta att B kommer att avrättas inser han att om han själv inte blir benådad så är chansen att C blir benådad nu 2/3.

Material för att förstå

Precis som med Monty Hall-problemet kommer det att vara användbart här att se på detta problem ur olika synvinklar.

Lista över möjliga fall

Följande fall kan inträffa:

A benådas och vakten meddelar att B kommer att avrättas: 1/3×1/2=1/6 av alla fall
A benådas och vakten meddelar att C kommer att avrättas: 1/3×1/2=1/6 av alla fall
B blir benådad och vakten meddelar att C kommer att avrättas: 1/3 av alla fall
C benådas och vakten meddelar att B kommer att avrättas: 1/3 av alla fall

Med förbehållet att i en situation där A blir benådad (sannolikheten för en sådan situation är 1/3), väktaren slumpmässigt väljer namnet på den avrättade, finns det en 1/2 chans att han säger "B" och 1 /2 att han kommer att säga "C". Det betyder att sannolikheterna är: 1/6 medan (1/3 [A är verkligen benådad] * 1/2 [väktaren ringer B]), vakten anropar B eftersom A är benådad, och (1/3 [A är verkligen benådad] benådad] * 1/2 [väktaren ropar C]) väktaren ropar C eftersom A är benådad. Totalt är detta 1/3 av alla fall (1/6 + 1/6) när A benådas.

Nu står det klart att vakten svarar "B kommer att avrättas" på frågan om fånge A (detta är fall 1 och 4) i 1/2 av alla fall; 1/3 - sannolikheten att C är benådad, men A fortfarande kommer att avrättas (fall 4); och endast 1/6 är sannolikheten att A blir benådad (fall 1). Därför är oddsen C: (1/3)/(1/2)=2/3, oddsen A: (1/6)/(1/2)=1/3.

Den största haken här är att vakten inte kan säga namnet på den som kommer att bli benådad. Om detta tillstånd utesluts kan det ursprungliga problemet omformuleras enligt följande: fången ber vakten att berätta för honom ödet för en av de två fångarna B och C, utan att specificera vem som kommer att avrättas. I det här fallet kastar vakten ett mynt för att välja mellan B och C, och berättar sedan ödet för en av dem. Med denna formulering är följande fall möjliga.

A är benådad, vakten säger: B kommer att avrättas (1/6)
A är benådad, vakten säger: C kommer att avrättas (1/6)
B benådad, vakt säger: B benådad (1/6)
B benådad, vakt säger: C kommer att avrättas (1/6)
C benådad, vakten säger: B kommer att avrättas (1/6)
C benådad, vakt säger: C benådad (1/6)

Alla utfall har lika sannolikhet - 1/6. Så: vakten i denna situation väljer fortfarande mellan 6 fall, och han kan fortfarande inte avslöja korten och säga vem som blir benådad. I fall 3 kan vakten inte säga att B är benådad, så han kommer att säga att C kommer att avrättas (vilket kommer att vara sant, för om B blir benådad kommer fångar A och C att avrättas). Också i fall 6, då C benådas, men vakten, som inte har rätt att säga det, kommer att namnge en av dem som kommer att avrättas - han kommer att berätta för fånge A namnet på fånge B. Detta medför sannolikheten för fall 4 och 5 till 1/3, vilket leder till att vi kommer till de första resultaten.

Vad är paradoxen?

Folk tror att sannolikheten är 1/2 eftersom de ignorerar kärnan i frågan som fånge A ställer till vakten. Om vakten kunde svara på frågan " Kommer fånge B att avrättas?" ”, då i fallet med ett positivt svar, skulle sannolikheten för exekvering av A verkligen minska från 2/3 till 1/2.

Begränsningen i det ursprungliga problemet med tre fångar gör fånge A:s fråga värdelös, eftersom det finns en 100% chans att två fångar kommer att avrättas. Det vill säga, även om A blir benådad kommer han att kallas vilket namn som helst; om A döms till döden, kommer en annan fånge att avrättas tillsammans med honom, hans namn kommer att ges till fånge A.

Det visar sig att fånge A genom sin fråga helt enkelt får reda på det faktum att en av fångarna B och C kommer att avrättas, vilket redan framgår av problemets förutsättningar.

Se även

Anteckningar

↑ Matematiska spel . Scientific American . Hämtad 6 november 2020. Arkiverad från originalet 18 oktober 2021.
↑ Martin Gardner. Math pussel och roligt. - 2. - Moskva: Mir, 1999. - S. 305-306.

Länkar

Mosteller F. Femtio underhållande probabilistiska problem med lösningar . Moskva: Nauka, 1975, s. 10-11.
Gardner M. Matematiska pussel och underhållning . Moskva: Mir, 1999, s. 305-306.
Richard Isaac: Sannolikhetens nöjen . Springer 1995, ISBN 9780387944159 , sid. 24-27 ( begränsad onlineversion i " Google Böcker ")