Laddning (måttteori)

Charge är en verkligt värderad finitely additiv uppsättningsfunktion definierad på vissa -algebra (till exempel Borel-delmängder ). $\sigma$

I motsats till det vanliga måttet, som vanligtvis förstås som en icke-negativ mängd funktion, kan laddningen också ta negativa värden.

Uppsättningen av alla laddningar över en godtycklig uppsättning med en sigma-algebra betecknas vanligtvis med . $X$ $\Sigma$ $\operatörsnamn {ba} (X,\;\Sigma )$

Relaterade definitioner

En positiv laddning kallas rent ändligt additiv om det för något icke-negativt räknat additivt mått följer att . $\nu \in \operatörsnamn {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ $\mu=0$
- En godtycklig laddning är rent ändligt additiv om sådana är laddningarna och . $\nu ^{+}$ $\nu ^{-}$
En avgift är absolut kontinuerlig med avseende på en åtgärd om $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Egenskaper

Mängden av alla laddningar bildar ett normaliserat gitter och till och med, dessutom, ett -mellanrum. $K$
För varje laddning finns det en positiv del och en negativ del . Det finns en Hahn-Jordan expansion , genom vilken egenskaperna hos laddningar kan uttryckas i termer av måttteori. $\nu$ $\nu ^{+}\geqslant 0$ $\nu ^{-}\leqslant 0$ $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$
Låt . Varje avgift kan representeras unikt som en summa , där den är absolut kontinuerlig med avseende på och disjunktiv . En sådan representation av måttet kallas Lebesgue-expansionen. $\mu \in \operatörsnamn {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\mu$ $\nu _{2}$ $\mu$ $\nu$
Vilken laddning som helst kan representeras unikt som en summa , där är ett godtyckligt räknat additivt mått och är en godtycklig rent finitally additiv laddning. Denna nedbrytning kallas ibland Yosida-Hewitt-nedbrytningen . $\nu \in \operatörsnamn {ba} (X,\;\Sigma )$ $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$ ${\displaystyle \nu _{ca))$ $\nu _{pfa}$
Rummet är topologiskt konjugerat till utrymmet av mätbara och avgränsade funktioner som definieras över det givna mätbara utrymmet. $\operatörsnamn {ba} (X,\;\Sigma )$

Historik

Termen "laddning" introducerades först av A. D. Alexandrov . Studiet av laddning var drivkraften för utvecklingen av teorin om ändligt additiv mått (1940-talet).

Se även

nedbrytningssats

Litteratur

Dunford N., Schwartz J. Linjära operatörer. Allmän teori. — M .: IL, 1962.
Landkof N. S. Fundamentals of modern potential theory. - M. , 1966.
Khalmosh P. Måttteori . // Per. från engelska. - M. , 1953.
Alexandroff AD Additiv set-funktioner i abstrakta utrymmen I // Math. samling 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
Alexandroff AD Additiv mängd-funktioner i abstrakta rum II // Math. samling 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
Alexandroff AD Additiv set-funktioner i abstrakta rum III // Math. samling 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. amer. Matematik. soc. 1952.v. 72, nr 1. s. 46-66.