Pennys spel är en icke- transitiv paradox som hittats av Walter Penny .
Beskrivningen av paradoxen publicerades första gången i oktober 1969 i Journal of Recreational Mathematics . Kärnan i denna paradox handlar om följande: låt A och B spela ett sådant spel - först väljer A en godtycklig binär sekvens (till exempel från nollor och ettor) med längd 3 och visar den för spelare B. Sedan gör B samma. Därefter bygger spelarna en slumpmässig binär sekvens där förekomsten av 0 och 1 är lika sannolikt (till exempel, de kastar ett mynt och räknar huvuden som 1 och svansar som 0). Den spelare vars sekvens inträffar först i denna slumpmässiga sekvens vinner. Låt till exempel spelare A välja trippel 001 och spelare B välja trippel 100. Låt den slumpmässiga sekvensen 10100 erhållas genom att kasta ett mynt 5 gånger. De sista 3 siffrorna i det - 100 - matchar trippeln som valts av spelare B, och trippel A möttes inte, så efter den 5:e myntkastningen vinner spelare B. Paradoxen ligger i det faktum att för varje trippel av spelare A finns det en trippel som vinner mot den med en sannolikhet större än 1/2. Det vill säga, det finns ingen "starkaste" trippel, för varje trippel finns det en "starkare" trippel som slår den med en sannolikhet på mer än hälften. Spelare B:s chanser att vinna är 2/3 i värsta fall. Om vi går från trillingar till fyra utfall kommer chanserna för spelare B att vinna att bli ännu högre.
Martin Gardner skriver om detta:
Denna situation är föga känd, och de flesta matematiker kan helt enkelt inte tro det när de hör om Pennys upptäckt. Detta är förvisso den vackraste svindel (om en svindel kan vara vacker), designad för en enfoldig.
— Gardner Martin. "Tidsresor" [1]Följande tabell visar vinstsannolikheterna för spelare B med tre utfall.
| MENB | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 000 | 1/2 | 2/5 | 2/5 | 1/8 | 5/12 | 3/10 | 1/2 | |
| 001 | 1/2 | 2/3 | 2/3 | 1/4 | 5/8 | 1/2 | 7/10 | |
| 010 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/8 | 7/12 | |
| 011 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/4 | 7/8 | |
| 100 | 7/8 | 3/4 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 101 | 7/12 | 3/8 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 110 | 7/10 | 1/2 | 5/8 | 1/4 | 2/3 | 2/3 | 1/2 | |
| 111 | 1/2 | 3/10 | 5/12 | 1/8 | 2/5 | 2/5 | 1/2 |
För att hitta den vinnande trippeln, i den översta raden i tabellen, hitta trippeln för spelare A och leta efter det maximala antalet i dess kolumn. I raden med detta nummer i den vänstra kolumnen kommer trippeln av spelare B, som vinner mot den givna trippeln av spelare A med maximal sannolikhet. Låt till exempel spelare A välja trippel 000. I den första kolumnen i tabellen letar vi efter det största antalet, detta är 7/8. I den vänstra kolumnen på raden med siffran 7/8 läser vi trippeln av spelare B 100, som vinner mot trippel 000 med en sannolikhet på 7/8. Faktum är att om sekvensen inte börjar på 000 när myntet kastas, så kommer den, när den här tre av ett slag först dyker upp i en slumpmässig sekvens, att föregås av en 1, vilket betyder att de tre av 100 träffades tidigare, och spelaren B vann. Trippel 000 vinner mot trippel 100 endast om 000 inträffar i början av den slumpmässiga sekvensen, och sannolikheten för detta är 1/8.
Den optimala strategin för den första spelaren (för valfri sekvenslängd på minst 4) hittades av den ungerske matematikern och kryptografen Janos Chirik [2] .