Plåtböjning

Böjningen av plattor i elasticitetsteorin hänvisar till beräkningen av deformationer i plattor (i det allmänna fallet med godtycklig tjocklek, men liten i jämförelse med de längsgående dimensionerna), under inverkan av yttre krafter och moment vinkelrätt mot planet för tallrik. Avvikelsevärdet kan bestämmas genom att lösa differentialekvationerna för motsvarande plåtteori beroende på antagandena om hur små vissa parametrar är. Från dessa avböjningar kan spänningarna i plattan beräknas. För kända spänningar kan brottteori användas för att avgöra om plattans integritet äventyras under en given belastning. Deformationen av en platta är en funktion av två koordinater, så teorin om plattor är generellt formulerad i termer av differentialekvationer i tvådimensionellt rymd. Det antas också att plattan initialt (i det ostressade tillståndet) har en platt form.

Plattböjning i Kirchhoff-Love-teorin

Definitioner

För en tunn rektangulär platta med tjocklek , Youngs modul och Poissons förhållande , kan de elastiska parametrarna bestämmas i termer av plattavböjningen . $H$ $E$ $\nu$ $w$

I det kartesiska koordinatsystemet bestäms böjstyvheten av

D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)))

Moments

Böjmoment per längdenhet ges av [1]

M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+\nu {\frac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\right),

M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\right).

Vridmomentet per längdenhet bestäms

M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y)).

Tvingar

Skjuvkrafter per längdenhet bestäms av uttrycket [2]

Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right),

Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y))\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right).

Spänningar

Böjspänningskomponenterna bestäms av uttrycket

\sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}} +\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}\right),

\sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}\right).

Skjuvspänningen är inställd

\tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}.

Deformationer

Böjtöjningar i teorin för små avvikelser bestäms av

\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}},

\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}.

Skjuvtöjningarna i teorin för små avvikelser ges av

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y))+{\frac {\partial v}{\partial x))=-2z{\frac {\partial ^{ 2}w}{\partial x\partial y)).

I teorin, för stora plattavböjningar, övervägs membrandeformationer i formen

\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial x }}\right)^{2},

\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y))+{\frac {1}{2))\left({\frac {\partial w}{\partial y }}\right)^{2},

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y))+{\frac {\partial v}{\partial x))+{\frac {\partial w}{\ partiell x)){\frac {\partial w}{\partial y)).

Avböjningar

Dessa avböjningar bestäms

u=-z{\frac {\partial w}{\partial x)),

v=-z{\frac {\partial w}{\partial y)).

Slutsats

I teorin om Kirchhoff–Kärleksplåtar består systemet för att definiera ekvationer av [3]

N_{\alpha \beta ,\alpha }=0

och

M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0.

Eller i utökad (koordinat) form

{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~ {\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0,

och

{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\ partiell x_{1}\partial x_{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22)){\partial x_{2}^{2))}=q.

där den applicerade tvärlasten per ytenhet och tjockleken på plattan är , spänning , och $q(x)$ $H=2h$ $\sigma_{ij}$

N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:= \int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.

Kvantiteten har dimensionen en kraftenhet per längdenhet. Kvantiteten har momentenheten per längdenhet. $N$ $M$

För isotropa, homogena plattor med Youngs modul och Poissons kvot reduceras dessa ekvationer till [4] $E$ $\nu$

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1 -\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}

var är avböjningen av plattans mittyta. $w(x_{1},x_{2})$

Små avböjningar av tunna rektangulära plattor

Små avböjningar av tunna rektangulära plattor beskrivs av Germain-Lagrange tunnplåtsekvationen

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2))}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4))}={\cfrac {q}{D)).

Denna ekvation härleddes först av Lagrange i december 1811 som korrigerade en rapport av Sophie Germain .

Stor avböjning av tunna rektangulära plattor

En stor avböjning av tunna rektangulära plattor beskrivs av ekvationerna för Feppl-von Karman-plattan

{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{ \partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w} {\partial y^{2))}\right],

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D} }\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2))}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+{ \cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2))}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}-2{\cfrac {\ partiell ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right),

var är spänningsfunktionen. $F$

Kirchhoff-Love runda tallrikar

Böjningen av cirkulära plattor kan studeras genom att lösa den grundläggande ekvationen med lämpliga randvillkor. Dessa lösningar hittades först av Poisson 1829. Cylindriska koordinater är lämpliga för sådana problem. z är punktens avstånd från plattans mittplan.

Huvudekvationen i koordinatlös form har formen

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D))\,.

I cylindriska koordinater , $(r,\theta ,z)$

\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r))\right)+{\frac {1}{r^{2))}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2))}+{\frac {\ partiell ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.

För symmetriskt belastade runda plattor, där böjningen endast beror på radien, får vi $w=w(r)$

\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\ ,.

Därför kommer huvudekvationen att ha formen av en vanlig differentialekvation [5]

{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r} }{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.

Om och är konstanta, så har direkt integration av grundekvationen en lösning $q$ $D$

w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+ {\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}

var finns integrationskonstanterna. Lutningen på den avböjande ytan är $C_{i}$

\phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+ C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.

För en rund platta innebär kravet att nedböjningen är ändlig och avböjningsbrantheten vid att . Men är inte nödvändigtvis lika med 0, eftersom den högra gränsen finns när man närmar sig ursprunget . $r=0$ $C_{1}=0$ $C_{3}$ $r\ln r\,$ $r=0$

Fasta kanter

För ett runt skär (radie a ) med fastklämda kanter och på insatsens kant. Genom att ersätta dessa randvillkor i den allmänna lösningen får vi [6] $w(a)=0$ $\phi (a)=0$

w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi ( r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.

Förskjutningarna av plattan i planet är

u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and))\quad u_{\theta }(r)=0\,.

Planstammarna i plattan är

\varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~, ~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2}) ~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.

Spänningarna i plattans plan är

\sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2))}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right ]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2))}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _ {rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.

För platttjocklek , böjstyvhet och $2h$ $D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]$

{\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3))}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+ \nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3))}\left[(1+\nu )a^ {2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}

De resulterande momenten (böjmomenten) är

M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~; ~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right ]~;~~M_{r\theta }=0\,.

Maximal radiell spänning vid och : $z=h$ $r=a$

\left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa ^{2}}{4H^{2}}}

var . Böjmomenten vid gränsen och i mitten av plattan är [7] $H:=2h$

\left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right |_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{ \theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.

En cirkulär platta laddad med en radieberoende kraft

[åtta]

Rektangulära Kirchhoff-Love-tallrikar

För rektangulära plattor introducerade Navier en enkel metod 1820 för att bestämma förskjutningen och spänningen när plattan vilar på kanterna. Tanken var att uttrycka den applicerade lasten i termer av komponenter i Fourierserien, hitta en lösning för en sinusformad last (en Fourieröverton) och sedan lägga till Fourierövertonerna för att få en lösning för en godtycklig last.

Sinusformad belastning

Låt oss anta att lasten har formen [9]

q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a))\sin {\frac {\pi y}{b))\,.

Här amplitud, plåtbredd i riktning och plåtbredd i riktning . $q_{0}$ $a$ $x$ $b$ $y$

Eftersom plattan helt enkelt stöds vid kanterna är förskjutningen vid plattans kanter noll, och böjmomentet är också noll vid gränserna och , noll vid gränserna och . $w(x,y)$ ${\displaystyle M_{xx))$ $x=0$ $x=a$ ${\displaystyle M_{åå))$ $y=0$ $y=b$

Under dessa randvillkor och lösningen av ekvationen för plattan har formen [10]

w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{ \frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b} }\,.

Där D är böjstyvheten

D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2}})}}.

Analogt med böjstyvhet EI. [11] Spänningarna och töjningarna i plattan kan beräknas om förskjutningen är känd.

Med en total belastning i formen

q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

där och är heltal får vi lösningen [12] $m$ $n$

{\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\ pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.

Naviers beslut

Ekvationen för den tvådimensionella trigonometriska serien

Vi definierar den totala belastningen i formen [12] $q(x,y)$

q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty}a_{mn}\sin {\frac {m\pi x }{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

där Fourierkoefficienten definierad av formeln [13] $a_{mn}$

a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac { m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y

Således tar den klassiska ekvationen för en rektangulär platta för små avböjningar följande form:

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\summa _{m=1}^{ \infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

En löst stödd platta med total belastning

Vi antar en lösning av formen $w(x,y)$

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x }{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

De partiella skillnaderna för denna funktion ges av uttrycken

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}=\summa _{m=1}^{\infty }\summa _{n=1}^{\ infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}.

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2))}=\summa _{m=1}^{\infty }\summa _{ n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^ {2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b)),

{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}.

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvationen för plattan får vi

\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi}{a))\right) ^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{ a))\sin {\frac {n\pi y}{b))=\sum _{m=1}^{\infty }\summa _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_ {mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Genom att likställa de två serierna får vi för koefficienterna

\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2 }\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}

eller efter permutation får vi

w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^ {2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}

Nedböjningen av en fritt uppburen platta (vid hörnen) under den totala belastningen ges av uttrycket [13]

w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2} }}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

En löst stödd platta med konstant belastning

För en jämnt fördelad last har vi

{\displaystyle q(x,y)=q_{0))

Således ges motsvarande Fourierkoefficient av

a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\ pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y

Att beräkna dubbelintegralen har vi

a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )

eller i annan form av en styckvis funktion

a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{udda }}\\0&m~{\text{eller}}~n~{\text{even}}\end{case}}

Avböjningen av en fritt uppburen platta (med förhållanden på hörnen) med en jämnt fördelad last ges av

w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty } \sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}} +{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n \pi y}{b}}

Böjmomenten per längdenhet i plåten ges av

M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _ {n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{ 2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{ 2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _ {n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{ 2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{ 2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}

Levys lösning

Ett annat tillvägagångssätt föreslogs av Levy [14] 1899. I det här fallet börjar vi med en antagen förskjutningsform och försöker justera parametrarna så att den styrande ekvationen och randvillkoren är uppfyllda. Målet är att hitta lösningar på huvudekvationen så att de uppfyller randvillkoren för och . $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D$ $Y_{m}(y)$ $y=0$ $y=b$

Antag att [15]

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a))\,.

För en platta som stöds fritt av sina kanter vid och , är gränsvillkoren: och . Observera att det inte finns några förskjutningsförändringar vid dessa kanter, vilket betyder och , vilket reducerar det momentana gränsvillkoret till det ekvivalenta uttrycket . $x=0$ $x=a$ $w=0$ $M_{xx}=0$ $\partial w/\partial y=0$ $\partial ^{2}w/\partial y^{2}=0$ $\partial ^{2}w/\partial x^{2}=0$

Moments at the edges

Tänk på fallet med en ren momentbelastning. I detta fall måste funktionen också uppfylla ekvationen . c I rektangulära kartesiska koordinater uttrycks grundekvationen som $q=0$ $w(x,y)$ $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.

Vi ersätter uttrycket för i huvudekvationen, vilket leder till [16] $w(x,y)$

\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy ^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac { m\pi x}{a}}\right]=0

eller

{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}} }{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{ m}=0\,.

Detta är en vanlig differentialekvation med en generell lösning [17]

Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a))+B_{m}{\frac {m\pi y}{a))\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}

där finns konstanter som kan bestämmas utifrån randvillkoren. Därför har böjningslösningen formen ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m))$

w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a} }\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.

Låt oss välja ett koordinatsystem så att plattgränserna ligger i kanterna vid och , vid . Då randvillkoren för stunderna kl $x=0$ $x=a$ $y=\pm b/2$ $y=\pm b/2$

w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1 }(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2))}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2} (x)

var finns kända funktioner. Lösningen kan hittas med dessa randvillkor. Det kan visas att för det symmetriska fallet, när $f_{1}(x),f_{2}(x)$

{\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2))

och

f_{1}(x)=f_{2}(x)=\summa _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a} }

vi får [18]

w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\summa _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{ m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \ alfa _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\ höger)

var

\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.

På samma sätt för det antisymmetriska fallet, när

{\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2))

vi får [19]

w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\summa _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{ m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \ alfa _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\ höger)\,.

Med hjälp av symmetriska och antisymmetriska lösningar kan man komponera mer generella lösningar.

Understödd platta med en jämnt fördelad belastning

För jämnt fördelad last

{\displaystyle q(x,y)=q_{0))

Avvikelsen för den stödda plattan centrerad med en jämnt fördelad last bestäms av uttrycket [20] $\left({\frac {a}{2)),0\right)$

{\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...} ^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a))+B_{m}{\frac {m\pi y}{a))\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{där} }\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\ cosh \alpha _{m))}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m))}\\&G_{m} ={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end {aligned}}\end{aligned}}

Böjmomenten per längdenhet i plåten ges av

M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2} \left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a))+\left( \nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin { \frac {m\pi x}{a}}

M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2} \left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a))+\left(1-\ nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\ frac {m\pi x}{a}}

Enhetlig och symmetrisk momentbelastning

För det speciella fallet när belastningen är symmetrisk och momentet är enhetligt, vid , $y=\pm b/2$

M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\summa _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{ 2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.

Den resulterande böjningen är

{\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\summa _{m=1}^{ \infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m))}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a))\ gånger \\&~~\vänster[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a))-{\frac {(2m -1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}

var

\alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a))\,.

Böjmoment och skjuvkrafter som motsvarar förskjutningen återfinns av formlerna $w$

{\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\summa _{ m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m))}\,\ gånger \\&~\sin {\frac {(2m-1) \pi x}{a}}\,\ gånger \\&~\vänster[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\höger.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m} \tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{ \frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\summa _{m =1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m))}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\ pi x}{a}}\,\ gånger \\&~\vänster[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y} {a}}+\höger.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1 )\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{ \partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\summa _{m=  1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m))}\,\ gånger \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a} }\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}

Spänning

\sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\ frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.

Böjning av en cylindrisk platta

Cylindrisk böjning uppstår när en rektangulär platta med dimensioner , där och liten tjocklek , utsätts för en likformig fördelad belastning vinkelrätt mot plattans plan. En sådan platta har formen av en cylinderyta. $a\times b\times h$ $a\ll b$ $h$

Med Navier- och Levy-metoderna går det även att hitta lösningar för fritt uppburna plåtar i cylindrisk bockning med olika antal lösa kanter [21] .

Böjning av Mindlins tjocka plattor

För tjocka plattor är det nödvändigt att ta hänsyn till effekten av skjuvspänningar längs tjockleken på orienteringen av normalen till medelytan efter deformation. Mindlins teori erbjuder ett enhetligt tillvägagångssätt för att hitta spänningar och stress i sådana plattor. Mindlins teorilösningar kan erhållas från motsvarande Kirchhoff-Love-lösningar genom att använda kanoniska relationer [22] .

Grundläggande ekvationer

De kanoniska ekvationerna för isotropa tjocka plattor kan skrivas som [22]

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right) =-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_ {2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{ 1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}

vid applicerad skjuvlast, skjuvmodul , böjstyvhet, plåttjocklek, skjuvspänningskorrigeringsfaktor , Youngs modul, Poissons förhållande och $q$ $G$ $D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]$ $h$ $c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]$ $\kappa$ $E$ $\nu$

{\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\ frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac { 2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.

Enligt Mindlins teori , den tvärgående förskjutningen av den genomsnittliga ytan av plattan, och storleken och motsvarande rotationer av normalen till medelytan i förhållande till och -axlarna. De kanoniska parametrarna för denna teori och . Skjuvspänningskorrigeringsfaktorn tas vanligtvis som . $w$ $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$ $x_{2}$ $x_{1}$ ${\mathcal {A}}=1$ ${\mathcal {B}}=0$ $\kappa$ $5/6$

Lösningar till de grundläggande ekvationerna kan hittas om motsvarande Kirchhoff-Love-lösningar är kända med hjälp av relationerna

{\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac ({\mathcal {M))^{K)){\kappa Gh))\left(1-{\frac ({\ mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1))}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}} c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A))))\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2))}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K)){\partial x_{2))}-{\frac {1}{ \kappa Gh))\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac ({\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_ {2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A))))\nabla ^{ 2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1))}\end{aligned }}

var förutsägs förskjutningen för en Kirchhoff-Love-platta, en biharmonisk funktion sådan att , en funktion som uppfyller Laplace-ekvationen, och $w^{K}$ $\Phi$ $\nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0$ $\psi$ $\nabla ^{2}\Psi =0$

{\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q +D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K} &=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1))}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}= -D{\frac {\partial }{\partial x_{2))}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _ {1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c ^{2}\Omega \,.\end{aligned}}

Fritt stödda rektangulära plattor

För fritt stödda plattor är summan av Marcus-moment noll

{\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{ 1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.

I detta fall är funktionerna , , lika med noll, och Mindlin-lösningen är relaterad till motsvarande Kirchhoff-lösning genom relationen $\Phi$ $\psi$ $\Omega$

w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.

Böjning av fribärande Reissner-Stein plattor

Reissner-Stein-teorin för konsolplattor [23] leder till följande kopplade ordinarie differentialekvationer för en konsolplatta med en koncentrerad ändbelastning vid punkten . $q_{x}(y)$ $x=a$

{\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac { b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1 -\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}

och randvillkor vid punkten $x=a$

{\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^ {3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{ x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac { b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}

Att lösa detta system med två ODE ger

{\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\vänster[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\, \left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(xa)]}}+\tanh[\nu _{b}(xa)]\ höger)\right]\end{aligned}}

var . Böjmoment och skjuvkrafter som motsvarar förskjutning $\nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu ))))/b$ $w=w_{x}+y\theta _{x}$

{\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {xa}{b}}\right)-\left[ {\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(xa)]}}\right]\ gånger \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\ sinh[\nu _{b}(xa)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y} }\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\vänster[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(xa)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}} {\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_ {x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(xa)]}}\höger)\ gånger \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x -2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\höger.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(xa)]+23\ cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}

Spänning

\sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\ frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.

Om den applicerade belastningen vid kanten är konstant, återvinner vi lösningarna för balken under en koncentrerad ändbelastning. Om den applicerade belastningen är en linjär funktion , då $y$

q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2))-{\frac {y}{b} }\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/ 2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b ^{2}q_{0}}{12}}\,.

Länkar

↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 39.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 82.
↑ Reddy, JN, 2007, Teori och analys av elastiska plattor och skal , CRC Press, Taylor och Francis.
↑ Timoshenko, S. och Woinowsky-Krieger, S., (1959), Theory of plates and shells , McGraw-Hill New York.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 54.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 55.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 56.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 63.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 105.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 106.
↑ Cook, RD et al., 2002, Begrepp och tillämpningar av finita elementanalys , John Wiley & Sons
↑ 1 2 Timosjenko et al, 1959 , sid. 108.
↑ 1 2 Timosjenko et al, 1959 , sid. 109.
↑ Lévy, M., 1899, Comptes rendues , vol. 129, sid. 535-539
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 113.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 114.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 180.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 182.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 184.
↑ Timosjenko et al, 1959 , sid. 116.
↑ Timosjenko et al, 1959 , s. 180-221.
↑ 1 2 Lim, GT och Reddy, JN Om kanoniska relationer för plattböjning // International Journal of Solids and Structures. - T. 40 . - S. 3039-3067 . - doi : 10.1016/S0020-7683(03)00084-2 .
↑ E. Reissner och M. Stein. Vridning och tvärböjning av fribärande plattor // National Advisory Committee for Aeronautics, Technical Note. - 1951. - T. 2369 . - S. - .

Litteratur

S. Timosjenko, S. Woinowsky-Krieger. Teori om plattor och skal = Teori om plattor och skal. - New York: McGraw-Hill, 1959. - 594 sid. — ISBN 0-07-085820-9 .