Herons iterativa formel

Herons iterativa formel har formen

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

där a är ett fast positivt tal och a är vilket positivt tal som helst. $x_{1}$

Den iterativa formeln definierar en minskande (med början från det andra elementet) sekvens, som, för alla val , snabbt konvergerar till värdet ( kvadratroten av ), dvs. $x_{1}$ ${\sqrt {a}}$

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}

Denna formel kan erhållas genom att tillämpa Newtons metod för att lösa ekvationen . $ax^{2}=0$

Exempel

Låt oss försöka beräkna kvadratroten ur 25 med avrundning i beräkningarna. Låt vår första gissning för värdet vara värdet 3. ${\sqrt {25}}$

n	$x_{n}$	$x_{{n+1}}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$	Ungefärligt värde $x_{{n+1}}$
ett	3	${\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8.33)={\frac {1}{2}}\cdot 11.33\approx 5.67$
2	5,67	${\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5.67+4.41)={\frac {1}{2}}\cdot 10.08=5.04$
3	5.04	${\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5.04+4.96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$
fyra	5	${\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$

Geometrisk tolkning

Denna formel har en enkel geometrisk tolkning. Betrakta en rektangel med area a och sida x 1 . Vi kommer att utföra iterativ kvadrering. Vi kommer nämligen att göra en sida av den nya rektangeln lika med det aritmetiska medelvärdet av båda sidorna av föregående steg. Och vi tar den andra sidan så att arean av den nya rektangeln återigen är lika med a . I nästa steg kommer vi att upprepa samma process.

Herons iterativa formel

Exempel

Geometrisk tolkning

Litteratur