Komplex värderad funktion

En komplext värderad funktion i funktionsteorin för en reell variabel är en funktion som tar komplexa värden: . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$

En sådan funktion kan representeras som:

f(x)=u(x)+iv(x)

var och är verkliga funktioner . I det här fallet kallas funktionen för den verkliga delen av funktionen och - dess imaginära del. I samband med en sådan nedbrytning överförs alla begrepp som introduceras för verkliga funktioner naturligt till funktioner med komplext värde, i synnerhet anses en funktion med komplext värde vara kontinuerlig ( differentierbar , analytisk , mätbar , harmonisk ) om dess reella och imaginära delar är kontinuerliga (differentierbara, analytiska, mätbara, harmoniska) funktioner. Integralen av en funktion med komplext värde definieras enligt följande: $u(x)$ $v(x)$ $u(x)$ $f(x)$ $v(x)$ $f(x)=u(x)+iv(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b }v(x)dx

Men inte alla egenskaper som är giltiga för de verkliga och imaginära delarna samtidigt kan utökas till komplext värderade funktioner. I synnerhet gäller inte Rolles sats för komplext värderade funktioner i det allmänna fallet , till exempel derivatan av en komplext värderad funktion av ett verkligt argument:

{\displaystyle \sigma (x)=e^{ix))

försvinner inte i intervallet , även om funktionens värden i segmentets slutpunkter är lika med . $[0,2\pi ]$ $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$

Litteratur

Titchmarsh E. Funktionsteori. - 2:a uppl., reviderad. — M .: Nauka , 1980 . — 464 sid.