Nyquist-Mikhailov stabilitetskriteriet

Nyquist -Mikhailov stabilitetskriteriet är ett av sätten att bedöma stabiliteten hos ett slutet kontrollsystem genom amplitudfasfrekvenssvaret i dess öppna tillstånd. Det är ett av frekvensstabilitetskriterierna. Med detta kriterium är det mycket enkelt att utvärdera stabiliteten, utan att behöva beräkna polerna för överföringsfunktionen med sluten slinga .

Stabilitetsvillkor

Överföringsfunktionen för ett dynamiskt system kan representeras som en bråkdel $\ T(s)$

\ T(s)={\frac {N(s)}{D(s)))

Stabilitet uppnås när alla dess poler är i det vänstra halvplanet . De ska inte vara i det högra halvplanet. Om den erhålls genom negativ återkoppling av en överföringsfunktion med öppen slinga , är polerna för överföringsfunktionen med sluten slinga funktionens nollor . Uttrycket kallas systemets karakteristiska ekvation . $\ T(s)$ $\s$ $\ T(s)$ $\ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)))$ $\ 1+F(s)$ $\ 1+F(s)=0$

Cauchys argumentprincip

Det är känt från funktionsteorin för en komplex variabel att en kontur som omsluter ett visst antal icke-analytiska punkter på -planet kan mappas till ett annat komplext plan (planet ) med hjälp av funktionen på ett sådant sätt att den resulterande konturen kommer att täcka mitten av -planet gånger, och , där är antalet nollor, och är antalet poler av funktionen . Riktningen som sammanfaller med konturens riktning anses vara positiv och den motsatta riktningen anses vara negativ. $\Gamma _{s}\$ $\s$ $\F(s)$ $\F(s)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ F(S)$ $\n$ $\n=zp$ $\z$ $\p$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$

Formuleringen av kriteriet

Först konstruerar vi en kontur som omsluter det högra halvplanet av det komplexa planet. Konturen består av följande sektioner:

sektion som går upp längs axeln , från till . $\ j\omega \$ $0-j\infty$ $0+j\infty$
en halvcirkel med radie som börjar vid en punkt och slutar vid en punkt i medurs riktning. $r\to\infty$ $0+j\infty$ $0-j\infty$

Därefter visar vi denna kontur med hjälp av överföringsfunktionen för ett öppet system , som ett resultat av vilket vi får systemets AFC- plan . Enligt argumentprincipen måste antalet medurs rotationer runt origo vara lika med antalet nollor i funktionen minus antalet poler i det högra halvplanet. Om vi betraktar en punkt istället för origo får vi skillnaden mellan antalet nollor och poler i det högra halvplanet för funktionen . När vi noterar att funktionen har samma poler som funktionen , och det öppna systemets poler är nollorna i det slutna systemet, formulerar vi Nyquist-Mikhailov-kriteriet : $\F(s)$ $\F(s)$ $\F(s)$ $\ -1+j0$ $\ 1+F(s)$ $\ 1+F(s)$ $\F(s)$

Låta vara en sluten slinga i det komplexa planet, vara antalet poler som omfattas av slingan , och vara antalet nollor som omfattas av , det vill säga antalet poler som omfattas av . Den resulterande konturen i -planet måste, för att säkerställa stabiliteten i det slutna systemet, täcka (medurs) punkttiderna, där . $\Gamma _{s}\$ $\p$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\z$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\ T(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\F(s)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ -1+j0$ $\n$ $\n=zp$

I den ryskspråkiga litteraturen, huvudsakligen publicerad i Sovjetunionen, finns det en annan formulering av kriteriet, som i detta fall kallas Mikhailov -kriteriet (stabilitetskriteriet föreslogs av den sovjetiske vetenskapsmannen A.V. Mikhailov 1936 [1] ):

Ordningssystemet är stabilt om dess frekvenshodograf, med början på den positiva reella halvaxeln i det komplexa planet, successivt passerar genom koordinatkvadranterna utan att vända till 0 någonstans. $\n$ $\n$

Konsekvenser av Nyquist-Mikhailov-kriteriet:

Om ett öppet slingasystem med en överföringsfunktion är stabilt, är ett sluten slingasystem stabilt om fasresponsen i öppen slinga inte täcker punkten (−1; j0). $\F(s)$
Om det öppna systemet är instabilt måste antalet varv runt punkten −1 vara lika med antalet poler i det högra halvplanet. $\F(s)$ $\F(s)$
Antalet ytterligare spännvidder (större än ) runt punkt −1 är exakt lika med antalet instabila poler i det slutna systemet. $\n+p$

Se även

Rutstabilitetskriterium
Hurwitz stabilitetskriterium
Stabilitetskriterium i statens utrymme
LAFCHH

Anteckningar

↑ § 5.3. Mikhailovs stabilitetskriterium . scask.ru . Hämtad: 7 augusti 2022. (obestämd)

Litteratur

Mikhailov A. V. Om ett nytt tillvägagångssätt för studiet av slutna kontrollerade system // Automation and Telemechanics. - 1973. - Nr 8 .
Nyquist , H. 1932. Regenerationsteori. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126-147.
Chernetsky VI Matematisk modellering av dynamiska system. - Petrozavodsk: delstaten Petrozavodsk. un-t, 1996. - 432 sid. — ISBN 5-230-08981-4 .