Borel-Cantelli Lemma

Borel-Cantelli-lemmat i sannolikhetsteorin är ett resultat som rör en oändlig händelseförlopp. Lemma används ofta för att bevisa gränssatser. Lemmat delas vanligtvis upp i två påståenden, som kallas det första och andra Borel-Cantelli-lemman.

Första Lemma

Låt ett sannolikhetsutrymme och ett händelseförlopp ges . Beteckna $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}\subset {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits _{{n\to \infty }}A_{n}\equiv \bigcap \limits _{{n=1}}^{{\infty }}\left(\bigcup \limits _{ {m=n}}^{{\infty }}A_{m}\right)

Sedan om serien konvergerar, då . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=0$

Andra lemma

Om alla händelser är gemensamt oberoende och serien divergerar, då . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Notera

I det första Borel-Cantelli-lemmat krävs inte att händelserna är oberoende.

Se även

Lagen om noll eller ett ;
Oändlig apa sats ;
Borel, Emile ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Kuratowski-konvergens

Länkar

Prokhorov, A.V. (2001), Borel–Cantelli lemma , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4