Martingal

För spelsystemet, se Martingale ; för elementet hästsele, se Martingale

Martingale i teorin om slumpmässiga processer är en sådan slumpmässig process att den bästa (i betydelsen rot-medelkvadrat) förutsägelse av processens beteende i framtiden är dess nuvarande tillstånd.

Diskreta tidsmartingaler

En sekvens av slumpvariabler kallas martingal med diskret tid if $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Låt en annan sekvens av slumpvariabler ges . Då kallas en sekvens av slumpvariabler en relativ martingal eller -martingale if $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Martingales med kontinuerlig tid

Låt det finnas ett sannolikhetsutrymme med en filtrering definierad på , där . Då kallas en slumpmässig process en martingal med avseende på , if $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subset \mathbb {R}$ $\{X_{t}\}_{t\in T}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ är mätbar med avseende på någon . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t\i T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}$ nästan säkert . [ett] $\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$

Om naturlig filtrering tas som , kallas det helt enkelt en martingal. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Sub- och supermartingaler

Låt en sekvens av slumpvariabler ges . Sedan kallas sekvensen av slumpvariabler en sub(super)martingal med avseende på if $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;$
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

En slumpmässig process kallas en sub(super)martingal med avseende på if $\{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ är mätbar med avseende på någon . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t\i T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\; s\leq t$ .

Om naturlig filtrering tas som , kallas det helt enkelt sub(super)martingale. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Egenskaper

En slumpmässig process är en martingal om och bara om det är både en submartingale och en supermartingal.
Om är en martingal, då . $\{X_{t}\}$ ${\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const}$
Om är en submartingale, då är en supermartingale. $\{X_{t}\}$ $\{-X_{t}\}$
Om är en martingal och är en konvex funktion , då är en submartingal. Om är en konkav funktion , då är en supermartingale. $\{X_{t}\}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\{f(X_{t})\}$ $f$ $\{f(X_{t})\}$
Generellt sett är en martingal inte en Markov-process .
- Det omvända är också sant: en Markov-process behöver inte vara en martingal.

Exempel

Tänk på ett spel där ett mynt kastas, och om huvuden kommer upp vinner spelaren 1 rubel. , och i händelse av en "svans" förlorar den 1 gnidning. Sedan:
- om myntet är balanserat är spelarens tillstånd som en funktion av antalet spel en martingal;
- om huvuden är mer sannolika, då är spelarens tillstånd submartingale;
- om det är mer sannolikt att få huvuden, då är spelarens tillstånd en supermartingale.

Wienerprocessen (detta är en matematisk modell av Brownsk rörelse ) är en martingal.

Anteckningar

↑ A.V. Bulinsky, A.N. Shiryaev. Theory of Stokastical Processes Arkiverad 15 februari 2017 på Wayback Machine . Fizmatlit, 2005, s. 9.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 11932329h J9U : 987007553375505171 LCCN : sh85081645 NDL : 00567500