Cauchy matris (differentialekvationer)

I matematik , Cauchy-matrisen (även impulsfunktion , matrikant ) av ett system av differentialekvationer

x'(t)=A(t)x(t)

... _ _

{\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n))

t\in (t_{1},t_{2})

kallas matris

{\displaystyle C(t,s)=X(t)X(s)^{-1))

(t;s)\in (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})

var är matrisanten för detta system (normalisering: , ). $X(t)$ $X(t_{0})=I$ $t_{0}\in (t_{1},t_{2})$

(Ibland inte , men själva Cauchy-matrisen kallas en matrixant.) $X(t)$

Lösa system av inhomogena linjära differentialekvationer

Cauchy-matrisen används för att representera lösningar av system av inhomogena linjära differentialekvationer med dess hjälp. Vilken lösning som helst på ett inhomogent system:

x'(t)=A(t)x(t)+B(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1 },t_{2}),

var är en lokalt summerbar funktion på kan representeras i termer av Cauchy-matrisen för det homogena systemet: ${\displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $(t_{1},t_{2}),$

x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2 }),

som:

x(t)=X(t)x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}C(t,s)B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).

Egenskaper

$C(t,s)$ kontinuerligt in $(t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})$
För alla t, s och r som hör till intervallet är följande påståenden sanna: $(t_{1},t_{2})$
1. ${\displaystyle C(t,s)=C(t,t_{0})C(s,t_{0})^{-1))$
2. $C(t,s)=C(t,r)C(r,s)$
3. ${\displaystyle C(s,t)=C(t,s)^{-1))$
4. $C(t,t)=I$
5. If är matrisen för det konjugata systemet $C_{*}(t,s)$ $x'(t)=-A^{*}(t)x(t)$ ... _ ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n))$ sedan ${\displaystyle C_{*}(t,s)=(C(t,s)^{*})^{-1))$
6. $|C(t,s)|\leqslant e^{\int _{s}^{t}|A(r)|dr},\quad s\leqslant t,$ var är matrisnormen . $|\cdot |$

System av differentialekvationer med konstanta koefficienter

När det gäller matrismedlet är det lika med $A(t)=A=\mathrm {const}$

{\displaystyle X(t)=e^{A(t-t_{0)))))

var är matrisexponenten , därav Cauchy-matrisen: $e^{As}$

C(t,s)=e^{A(ts)}

C(t,s)=X(ts)

i detta fall, för att erhålla Cauchy-matrisen, räcker det med att ersätta (t - s) som argument för matrisen.

Den allmänna lösningen av ett system av linjära inhomogena differentialekvationer med konstanta koefficienter har formen:

x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(ts)} B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).

Litteratur

Mathematical Encyclopedia Ed. collegium: I. M. Vinogradov (redaktörschef) [m.fl.] M., "Sovjetuppslagsverket", 1977-1985.
EN. Tikhonov, A.B. Vasilyeva, A.G. Svesjnikov. Kurs i högre matematik och matematisk fysik. Differentialekvationer. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .